数学「点と直線」の問題が分りません。教えてください

質問

(1)２直線 L：ax+2y=1、m：x+(a+1)y=aがある。 Lとｍは一致するとき定数aの値を求めてください。（途中式もお願いします。）

(2)３直線x－2y+1=0・・・(1)、x+6y－23=0・・・(2)、3x+2y－5=0・・・(3)があります。(1)と(2)、(2)と(3)、(3)と(1)の交点をそれぞれA,B、Cとするとき、△ABCの面積を求めてください。また、点Bを通り、△ABCの面積を２等分する直線の方程式を求めてください。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、(1)1
(2)面積8、y=－x/2+7/2
です。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

設問1
ax+2y=1 …… (1)
x+(a+1)y=a …… (2)

(1)より、y=(-ax+1)/2
(2)より、y=(-x+a)/(a+1) （ただし、a≠-1）
両者は一致するので、
直線の傾き：-a/2=-1/(a+1) …… (3)
直線のy切片：1/2=a/(a+1) …… (4)
(4)より、2a=a+1
a=1
(3)に代入しても矛盾しない。また、a≠-1の条件も満たしている。
∴a=1を解としてよい。

設問2
x-2y+1=0 …… (1)
x+6y-23=0 …… (2)
3x+2y-5=0 …… (3)

点Aの座標を求める。
x-2y+1=x+6y-23
8y=24
y=3,x=5
点A(5,3)

点Bの座標を求める。
(2)-3×(3)より
-8x=8
x=-1,y=4
点B(-1,4)

点Cの座標を求める。
(1)+(3)より、
4x-4=0
x=1,y=1
点C(1,1)

△ABCの面積を求める方法はいくつかあるが、今回は平行移動する方式を使う。
△ABCを、点Cが原点に来るよう、平行移動した三角形を△A'B'C'とする。
このとき、A'(4,2),B'(-2,3),C'(0,0)
△ABCの面積=△A'B'C'の面積=|4×3-2×(-2)|/2=8

点Bを通り、△ABCの面積を二等分する直線は、ACの中点を通る。
ACの中点D(3,2)
点B(-1,4),点D(3,2)を通る直線の方程式は
y-2=(4-2)(x-3)/(-1-3)=-2(x-3)/4=-(x-3)/2
∴y=-x/2+7/2

お礼

ありがとうございます。
助かりました。

回答No.4

noname#214474

(1)について
a*Ｌ-ｍと計算すると(”*”このマークは積を表します。念のための補足です）
（a^2-1)x+(a-1)y=0
よってa=1が求まります

Ｌ-ｍ*1/aと考えることもできますが、この場合aが分母に来るので、一度a≠0を示す必要がありますので気を付けてください。

（２）について
まず交点は
Ａ（５，３）
Ｂ（-1、４）
Ｃ（１，１）
ここでＢからＡＣ、つまり直線（１）に垂線を引きます。
その長さは
　│（-1）-2*４+１│/√｛（１＾２）+（-２）＾2｝
＝８/√５
また、ＡＣの長さは
　√｛（５-１）＾2+（３-1）＾2｝
＝２√５
よって△ＡＢＣの面積は
　（1/2）*（8／√５）*（２√５）
＝８

点から直線までの距離を求める公式は、受験でも使いますのでしっかり覚えておきましょう

（３）について
直線が三角形の重心を通るとき、その面積が半分に分けられます。
Ａ（５，３）
Ｂ（-1、４）
Ｃ（１，１）
これより重心の座標は
（５/3、８/３）
直線上の、点Ｂと重心の二点の座標が求まったので、後はここから直線の方程式が求まりますね。

重心は、ｘとｙのそれぞれの三つの座標を足して、３で割ることで求まります。
他には、三角形の頂点から対辺の中点に引いた直線の交点が、重心の座標となります。

回答No.3

asuncion

今日だけでもいくつか質問（というか問題を解く依頼）をされていて、
他の回答者さんや私からの回答が来てますが、
それを丸覚えするのではなく、解き方の論理を理解するようにしてくださいね。

回答No.1

ferien

＞(1)２直線 L：ax+2y=1、m：x+(a+1)y=aがある。 Lとｍは一致するとき定数aの値を求めてください。
係数比較するだけです。ａ＝１，２＝ａ＋１，１＝ａ

＞(2)３直線x－2y+1=0・・・(1)、x+6y－23=0・・・(2)、3x+2y－5=0・・・(3)があります。
＞(1)と(2)、(2)と(3)、(3)と(1)の交点をそれぞれA,B、Cとするとき、
交点の座標を求めて、グラフを描けば分かります。
それぞれ連立で解くと、Ａ（５，３），Ｂ（－１，４），Ｃ（１，１）
＞△ABCの面積を求めてください。
Ａ，Ｂからｘ軸へおろした垂線の足をＤ，Ｅとすると、
△ＡＢＣ＝台形ＡＢＥＤ－△ＡＤＥ－△ＢＣＥ（Ｃからｙ軸への垂線の長さは２）
＝(1/2)×（３＋４）×６－(1/2)×６×３－(1/2)×４×２
＝８
＞また、点Bを通り、△ABCの面積を２等分する直線の方程式を求めてください。
△ＡＢＣの頂点をＢと見ると、底辺ＡＣを半分にすれば面積は２等分になります。
ＡＣの中点Ｍとすると、２等分するのは、ＭとＢを通る直線です。
中点Ｍ（（５＋１）／２，（３＋１）／２）＝（３，２）
傾き＝（２－４／３－（－１）＝－１／２
ｙ－４＝（－１／２）（ｘ＋１）
よって、ｙ＝－ｘ／２－７／２

図を描いて計算を確認して下さい。