立体の体積の問題

質問

高校二年です。数学苦手で困っています。
数学III積分の初級問題なのですが、わからないところがあり、問題は次のようなものです。
xyz空間のxy平面上に、曲線C:y＝x＾２,z=0と直線ｌ:y＝x+a,z=0がある。ただしaは定数。
aの値を１から、ｃとｌが接するまで変化させる。
ｃとｌの交点を結んだ線分を一辺とする正三角形を、xy平面に垂直になるように作る。
（つまり正三角形の一辺はaの値により変化する。）
このとき正三角形が通過してできた立体の体積を求めよ。

この問題の模範解答は、
曲線と直線が接するとき、a=-1/4。（計算は省きました。）よって-1/4<=a<=1。
ｃとｌの交点をむすんだ線分をPQとすると、PQ＾２＝8a+2。（これも計算は省きました。）
立体をy＝－xに垂直な平面で切った切り口は正三角形になる。
y＝－x上の点を（-u/√2,u/√2）と置くと、この点がy＝x+a上にあるときa=√2u
故に-1/4√2<=u<=1/√2で、もとめる体積は、
∫（-1/4√2→1/√2）√3/4（8√2u+2）du...

となっているのですが、y＝－x上の点をなんで（-u/√2,u/√2）とおくのですか？
１/√２が出てくるのはy＝x+aとy＝－xとy軸とで二等辺直角三角形ができてるので、それが関係あるのかなと思いますが、なぜｘ座標とｙ座標の符号がこうなるのかよくわかりません。教えてください。
模範解答より詳しい回答が書ける方はぜひお願いしたいです。
文章わかりづらくてすみません。お願いします。

回答No.2

f272

y=-x上の点だからx座標とy座標の絶対値は等しくて，符号は逆になるに決まっていると思うがいかが。
そして考えている立体をy=-xに垂直な平面で切ると言うのは，ちょうどその立体をy=-xの方向で断面積を図っているのですよね。原点(0,0)からの距離をuとすれば（-u/√2,u/√2）がちょうどy=x+aとy=x^2の交点になります。

回答No.1

noname#252159

y= - x
の点ですから、
×≠0 のとき、y/x = -1
これで、同じパラメータ u に対して、xとyとの商が負であることから
xとyとは異符号であることが分かります。
　もちろん、
(u/√2, -u/√2) とおくことも可能ですね。