数学IIIの積分の体積（斜回転体）の問題

質問

斜回転体の体積を求める問題です。
(2)の(i)まではできたのですが。。(ii)ができません。
被積分関数が複雑になり目標の答えに到達できないです。
置換積分や前問までの結果を用いるとはうまく計算できると
思うのですが。。ご教授ください。
宜しくお願いします。

●次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) 次の不定積分の値を求めなさい。
　　(i) ∫xe^x dx (ii) ∫x^2 e^x dx

(2)xy平面上に曲線C:y=(e^x-1)/2 と直線l(エル)：y=xがある。
Cとlの交点のうち、原点以外の点をAとし、そのx座標をαとする。
また、C上の0≦x≦αの部分に点Pがあり、そのx座標をtとする。
このとき、次の(i)、(ii)の問いに答えなさい。

(i) Pからlに垂線を引き、lとの交点をHとする。線分OHの長さをtを
　　用いて表しなさい。

(ii)　Cとlで囲まれた部分を直線lの周りに１回転させてできる立体の
　　　体積をVとするとき、V=(□α^3-□α^2+□α)πと表せる。
　　　□に当てはまる値を求めなさい。

回答No.2

hugen

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/integral/integral.htm
http://21.xmbs.jp/shindou-10759-n3.php?guid=on&page=6&view=1

お礼

ずいぶん時間が経ちましたが答えが出せそうです。
webページ大いに参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

info22_

>(2)の(i)まではできたのですが。。(ii)ができません。
被積分関数が複雑になり目標の答えに到達できないです。
置換積分や前問までの結果を用いるとはうまく計算できると
思うのです

(1)については何も触れてないので解決ずみで回答不要ですか？
単なる部分積分をすれば出来る基礎的な積分に過ぎませんが？
もし回答がいるなら、自力でやったこと、やりかけて解決できないところを補足に書いて、きいて下さい。

(2)
(i)できたことは、計算過程と結果を補足に書いてください。(ii)で使うため、正しいかのチェックもかねますので…。
(ii)
>(ii)ができません。
被積分関数が複雑になり目標の答えに到達できないです。
置換積分や前問までの結果を用いるとはうまく計算できると
思うのです

やったことの計算過程を途中まででも間違っていても良いですから補足にお書きください。
「うまく出来ると思う」やり方で結構ですから、わかるところまではやってみてください。
なお、回転軸の直線lに沿った積分は、(i)で求めたPH^2を使えば
V=π∫[0,(√2)α] PH^2 dt
で体積を計算出来ますが、そのままtで積分しても良いし、xによる積分に直したければ
t=(√2)xの関係にあるので　dt=(√2)dx から
t=(√2)xの変数変換をし、xによる積分としての積分範囲を[0,α]とすれば良いでしょう。

お礼

アドバイスをもとにあれこれ考えていたのですが
時間はずいぶん経ちましたが答えが出せそうです。ありがとうございました。