微分法の応用

質問

放物線y=x^2+1上の点P(t,t^2+1)(t>0)における接線とx軸との交点をQ,Pからx軸に垂線を引きx軸との交点をＲとしたとき、△PQRの面積Ｓをtの式で表したいです。

y'=2x
ここでP(t,t^2+1)を使って接線の方程式を作り
y=-2t(x-t)+t^2+1
となりましたが、ここからがうまくいきません。
y=0を代入してx=を求めてこれからＳを求めようと思ったのですが、上手く出ませんでした。

またこれよりSが最小となるときのtの値を知りたいです。上が解けないためうまくいきません。

よろしくお願いします！

回答No.3

springside · ベストアンサー

接線の方程式は、y=2t(x-t)+t^2+1ですよね。
ここでy=0として、x=(t^2-1)/2tとなって、これがＱのx座標です。
Ｒのx座標はtですから、t>0であることを考慮すると、ＱＲ=t-(t^2-1)/2t=(t^2+1)/2tとなります。
△ＰＱＲの底辺はＱＲ、高さはＲのy座標t^2+1なので、
Ｓ=(t^2+1)/2t×(t^2+1)×(1/2)
=(t^2+1)^2/4t
となります。

Ｓをtで微分したものをＳ'とすると、Ｓ'の符号は、
2(t^2+1)^2×2t×4t - (t^2+1)^2×4
=4(t^2+1)(3t^2-1)
に等しいので、あとは増減表を書いて、Ｓはt=(√3)/3の時に最小になることが示されます。

回答No.2

noname#6715

えーっとそれは接線の傾きが
なぜか負の数だからですねぇ(邪笑)

接線の方程式はy=2t(x-t)+t^2+1ですよね。

あとは頑張ってください

回答No.1

12m24

まず、接線の方程式があっていません。y'=2xなら接線はy=2t...となるはずです。ほかはあっていますので、ここからQRは、(t^2+1)^2/4tと出てくると思います。