数IIIの関数問題がわからないです

質問

放物線y＝x二乗＋３上の点P(t,t二乗＋３)における接線が、x軸と交わる点をQ,Pからx軸に下ろした垂線をPRとする。ｔ＞０のとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。

答え、ｔ＝１で最小値４ [△PQRの面積をS(ｔ)とおくとS(ｔ)＝(ｔ二乗＋３)二乗／４ｔ]

の解き方がわかりません。

途中式、解説など回答お願いしますｍ

回答No.1

dame_dame_ · ベストアンサー

接線の方程式は
y-(t^2+3)=2t(x-t)
つまり
y=2tx-t^2+3

これがx軸と交わる点はy=0より
x=(t^2-3)/2t
これがQのx座標
Q((t^2-3)/2t,0)

PとRのx座標は等しいから
R(t,0)

面積は
S(t)=1/2・PR・QR
=1/2(t^2+3)|t-(t^2-3)/2t|
=(t^2+3)^2/(4t)

微分して
S'(t)=2(t^2+3)2t4t-(t^2+3)^2・4/(4t)^2
=3(t^2+3)(t^2-1)/(4t)^2
よりS'(t)=0とするとt=1(t>0より)
増減表を書くとt=1で最小値を取ることがわかり
S(1)=4