微分方程式応用問題。解き方をお願いします。

質問

解析学のテキストにある練習問題で解答はわかっても、そこに至る道筋が載ってないため困ってます。解法をお願いしますm(_ _)m

(1)曲線上の点P(x,y)からx軸へ下ろした垂線の足をQとし、曲線とｙ軸との交点をRとするとき、領域OQPRの面積が曲線RPの長さに比例する曲線を求めよ。　　答え：ｙ＝k{c*exp(x/k)+exp(-x/k)/c}/2

(2)接線が両座標軸から切り取られる部分の長さがｋ(一定)である曲線を求めよ。　　答え：y＝cx＋kc/√(1+c^2)　またはAsteroid x^(2/3)＋y^(2/3)＝k^(2/3)

よろしくお願いします

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

垂線足の座標をxとして面積S(x),曲線の長さL(x)とすればS(x)=kL(x)というこでこの式をxで微分すれば微分方程式が得られこれを解けばよい。ここでk=0のときは意味がないのでk<>0.

議論はyの符号が途中変化しないとして議論をします。解答の式にもっていくには積分定数をまとめて一般化する必要あり。また、積分の途中で分母＝０とした特異解y^2-k^2=0すなわちy=kもある。

(2)の始めの解もこまかくはy＝cx±kc/√(1+c^2)。あとの解は包絡線。

お礼

(1)を考えてみましたが、詰まりました…
曲線をy＝f(x)として
S'(x)＝f(x)
L'(x)＝√[1＋{f'(x)}^2]
となったんですが、ここからy'＝ｐと置いて
L'(x)＝g(p)
ｙ＝ｋ*g(p)
として両辺をxで微分してpを消去しようとしたんですがArctanがでてきたりして上手くいきません。厚かましいお願いですが、経過をお教えください(TT)

補足

補足：
y＝k√{1＋(y')^2}
よりy'＝～　の形にしてから両辺積分して計算してみました。段々解答に近づいてる気はしますがやっぱりゴチャゴチャになりました。申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.3

endlessriver

dy/(√(y^2-k^2)=(±dx/k)の積分です。左辺は公式があります
積文後、うまく二乗してy^2を消します。

解の中の定数をうまくまとめないと解答のような形にはなりません。
例えば　exp(±x/k)とexp-(±x/k)の形式は同等なので±と-(±)を+と-に置き換えできます。C/kとk/Cは積分定数を２つあるが一つにしてCと1/Cにしても同等。

お礼

左辺の公式は判りませんが、とりあえず
y＝k/cos(θ)　
として置換積分した後、次は
tan(θ/2)＝ｔ
と置いて計算する事で何とか教科書の答えに辿りつけました。
(2)の方も頑張ってみます。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

y=f(x) とおいて (あるいは x = f(t), y = g(t) とおいて) 「言われた通り」に式をたてればいいんでないの?

お礼

そりゃそうですが、わからない人間にはその「言われた通り」がどこを指すのか判らないんですよ～