微分方程式? 微積分演算

質問

(1.1)を通る曲線の接線とx軸交わる点をD、その接点からx軸への足をQとおく時、DQ=1となるような曲線を求めよ、という問いがあります。

曲線C: y= f(x)　と仮定し、接点をP(p,f(p))とします。Q(p,0)となります。
接線はy-f(p)=f'(x)(x-p)となり、ここから、D(p-f(p)/f'(p) , 0)が成り立ちます。

DQ=1より、|p-f(p)/f'(p) -p| = 1が成立します。

ここから、f(x)を求めないといけないのですが…

-f(p)/f'p = 1 , -f(p)/f'p = -1　のそれぞれについて計算すればいいのですが、計算の方法がよく分かりません。
f(p)=f'(p) , f(p)= -f'(p)　とすれば、微分して値が変わらない関数はy=e^xぐらいだろう、というあたりをつけ、y=e^(x+a)+C,y=e^(-x+b)+Cではなかろうか、と推測できます。(1,1)を通るので、C=0,a=-1,b=1を思いつくことは不可能ではないと思いますが、これは計算で求めるとすれば、どのようにする必要があるのでしょうか。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

f(p)=f'(p) , f(p)= -f'(p)
これは微分方程式です。
y'=y
という微分方程式を見たことありませんか。これとまったく同じものです。

y'=y
を解くには
dy/dx=y
(1/y)(dy/dx)=1
両辺をxで積分して
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫dx
∫(1/y)dy=x+C
log|y|=x+C
y=C'*e^x
となります。

補足

ありがとうございます。
y=C'*e^xでしょうか?
log|y|=x+Cから、e^(x+C)=y(C=-1)となる気がしますが…

回答No.3

alice_44

で、その定数を C' と書けるか…というと、
C' の範囲に制限をつけないとね。

回答No.2

Tacosan

C が定数なら e^C も定数.

で, e^(x+C) = e^C e^x と書ける.

お礼

理解出来ました。ありがとうございました。