微分積分の問題

質問

点P(0,2a-1)から曲線C1:y=a-ax^2に引いた2本の接線の各接点を
A,Bとし、曲線C1に点A,Bで接する円をC2とする。
ただし、a>1とし、Aのx座標はBのx座標より小さいものとする。
(1)点A,Bの座標を求めよ。
(2)円C2の中心をEとする。点Eの座標と円C2の半径を求めよ。
(3)a=3/2のとき、扇形AEBにおける弧ABと曲線C1とで囲まれる部分の面積を求めよ。

(1)はA(ー√{a-1/a},0)　B(√{a-1/a},0)とでました。
(2)はAとBの中点がEだと思ったのですが違うみたいです。
お助けお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

(1)のＡ，Ｂのｙ座標は１じゃないですか？
　　ｘ＝√{(a-1)/a}をy=a-ax^2に入れれば
　　ｙ＝a-(a-1)＝１
(2)Ａ，Ｂがｙ軸について対称なので、Ｅはｙ軸上に
　　あるから、その点を(０,ｋ)とおく。
　　ＡＰはＣ2の接線でもあるから、直角三角形ＡＰＥ
　　で三平方の定理から、
　　　ＰＡ^2＋ＡＥ^2＝ＰＥ^2でｋが求められます。
　　ＰＡ^2＝(a-1)/a+4(a-1)^2
　　ＡＥ^2＝(a-1)/a+(k-1)^2
　　ＰＥ^2＝(2a-1-k)^2＝(2a-1)^2-2(2a-1)k+k^2
　　整理すると、4(a-1)k=4(a-1)-2(a-1)/a
　　　∴ｋ＝1-{1/(2a)}
　　ＡＥ^2に入れて計算すると、半径も1-{1/(2a)}でした。
(3)Ｂは(√3/3,1)、Ｅは(0,2/3)になるので、例えばＢＥが
　　斜辺となるような直角三角形を考えれば、辺の比から
　　この扇形の中心角は120度になることがわかります。
　　あとは積分と引き算です。

回答No.3

kkkk2222

(1)

f(x)=a-a(x^2),,,f'(x)=-2ax,,,接点のｘ座標を、tとして、
　f'(t)=-2at,,,接線は、y-{a-a(t^2)}=-2at(x-t),,,
　　(0,(2a-1))を代入して,
　　　(2a-1)-{a-a(t^2)}=2a(t^2),,,
　　　　　0=a(t^2)-(a-1)
t=-√{(a-1)/a},√{(a-1)/a}
,,,f(±√{(a-1)/a})=a-a{(a-1)/a}=1

A(-√{(a-1)/a},1),,,B(√{(a-1)/a},1)
ーーー
(2)

点Aの法線は、
傾きが、＜-2a{(-√{(a-1)/a} → -√{a/(a-1)}/2a＞
　　y-1={ -√{a/(a-1)}/2a }*{ x+√{(a-1)/a} }
対称性より円の中心はｙ軸上にあるので、x=0　を代入、
　　y= {-1/(2a)}+1

中心は（ 0, (2a-1)/(2a) ）

半径をrとして、
(r^2)={(a-1)/a}+{1/(4(a^2))}
={4a(a-1)/4(a^2)}+{1/(4(a^2))}
　={4(a^2)-4a+1}/(4(a^2))
　　={(2a-1)^2}/(4(a^2))
半径は、r=(2a-1)/(2a)

＜半径と中心のｙ座標が等しいので、円はｘ軸に接している。＞
　　　　　↑問題とは無関係のようです。
ーーー

(3)　a=(3/2)のとき、

中心は（ 0, 2/3 ）,,,半径は, 2/3
　　A(-√(1/3),1),,,B(√(1/3),1)

＜　∠AEBは、６０度か９０度か１２０度と予想して、　＞

ＡＢの中点を、Ｍとして、
∠MEBを求める。

　ME=1-(2/3)=(1/3)
　MB=√(1/3)
　　　∠MEB=６０度,,,∠AEB=１２０度

(半月状の面積)=π((2/3)^2)(1/3)-ME*MB={(4π/27)-(1/3√3)}

S=2(3/2)∫[0,1/√3]{1-(x^2)}dx-{1*2*(1/√3)}　　-{半月}
　　=3[x-(1/3)(x^3)][0,1/√3]-(2/√3)　　-{半月}
　　　=√3-(1/3√3)-(2/√3)　　-(4π/27)+(1/3√3)
　　　　=(-4π/27)+√3-(2/√3)
　　　　　=(-4π/27)+(1/√3)

お礼

みなさんありがとうございました。
(1)のy座標は1でした。打ち間違えでした。すいません。

回答No.2

info22

#1さんの解答と重複する分の詳細は省略して

(1)正解は　A(-√{(a-1)/a},1)　B(√{(a-1)/a},1)

(2)正解は　E(0,1-{1/(2a)}),半径r=1-{1/(2a)}

(3)S=(C1とy=1で囲まれた面積S1)-(C2内部でy=1より上の部分の面積S2)
S1=∫[-1/√3,1/√3] {(3/2)(1-x^2)-1}dx=2/(3√3)
S2=(円C2の面積)*(1/3)-△EAB
=(π/3)(2/3)^2-(1/3)(1/√3)=(4π/27)-{1/(3√3)}
S={2/(3√3)}-[(4π/27)-{1/(3√3)}]
={1/(3√3)}-(4π/27)