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この問題教えてください! k>0とする。原点をOとする座標平面において, 2点A, Bは曲線y=(1/k)x^2上にあり, かつ△OABは正三角形とする。また, △OABの内接円をSとし, Cをその中心とする。 (1) 中心Cの座標を求めよ。 (2) 円Sの方程式を求めよ。 (3) Tを中心D(3k, -2k), 半径kの円とする。T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて, その接点をE, Fとする。線分CPの長さをtとして, 内積CE•CFをkとtを用いて表せ。 (4) 点Pが円T上を動くとき, 内積CE•CFの最大値と最小値を求めよ。

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◆方針 ・この正三角形は左右対称ゆえ、原点Oを頂点とする逆三角形。 ・辺ABは水平線。Aの座標(k√3,3k)、 Bの座標(-k√3,3k) ・辺ABとy軸の交点をKとするとそれは(0,3k)   (問1) 中心Cの座標を求めよ。⇒ Cは、OKを2:1に内分した点(重心)だから 答(0,2k) (問2) 円Sの方程式を求めよ。⇒ 半径=kだから、  答 x^2+(y-2k)^2=k^2  (K>O) (問3) Tを中心D(3k, -2k), 半径kの円とする。T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて, その接点をE, Fとする。線分CPの長さをtとして, 内積CE•CFをkとtを用いて表せ。⇒ 図【図はご自分で描いて下さい。ここには描けないので、有るつもりで読んでください。 図を描くのは決して難しくありません】  円T上の点をPとする。直角三角形PCEを考えて、∠CPE=θとする。すると ・sinθ=CE/PC =半径/t =k/t  (問題文が PC=tと指定している)―――★ ・円Sで、∠ECF=φとおくと、四角形PECFで φ=180°-2θ ・cosφ=cos(180°-2θ)=-cos2θ 公式利用した =-{1-2(sinθ)^2} ・★を代入して、cosφ=-{1-2(k/t)^2} ・求める内積は、(べCE)・(べCF)=|べCE ||べCF |cosφ  =k×k×cosφ =-k^2{1-2(k/t)^2}  =k^2{2(k/t)^2 ―1} ⇔(3)の答。―――★★ (問4) 点Pが円T上を動くとき, 内積CE•CFの最大値と最小値を求めよ。⇒   ・直線CDを作ると、CDと円Tとの2個の交点P1、P2がある。Cに近いのをP1とする。 ・tの最小値=CP1、tの最大値=CP2 である。 ・CP1=4k、 CP2=CP1+Tの直径=6k    (直線CDと円Tとの連立方程式を解いて   2個の交点P1、P2の座標を求め、それらとCとの距離を求めた。4kと6kになった) ・すると 4k≦t≦6k がtの範囲。 ・★★を観察すると、(画面は見づらいので式を紙に書くのがオススメ)  kが定数で、ただ1個の変数tは分母にあるから、 (分数部分の項は正の値)   tの最大のときに数式の値が最小となる。 t=6k     tの最小のときに数式の値が最大となる。 t=4k  (数式の値=求める内積) ・求める内積の最大値は★★式にt=4k を代入して、内積=k^2(1/8-1)=-7k^2/8 ・求める内積の最小値は★★式にt=6k を代入して、内積=k^2(1/18-1)=-17k^2/18 よって、 答 内積の最大値=-7k^2/8 、  最小値=-17k^2/18 ――――――――――――――――――――   この問題は内積のφを2θとし、かつcosθを直接求めずに、sinθと  させるところが狡猾です。(cosθや接線EPなどに踏み込むと判別式やら  座標やらで、とんでもないことになります。作者のワナにはまります)      CP=t とおいて計算させるのは、一見複雑そうですが、実は  (3),(4)を出させるのに大変巧妙な仕掛けとなっています。    (最大最小ですが、微分などしてはいけません)  とても良くできた作問です。一体どなたの作品でしょうか。  入試での出題では難度は高いでしょう。 【回答を読んで下さり、有難うございました】

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