微分の問題です

質問

関数ｆ（ｘ）は微分可能で、－１＜ｆ’（ｘ）＜０,ｆ（０）＝１とする。
（１）a<bのときｆ（a）>ｆ（b)およびｆ（a)＋a<f（b）＋bが成り立つことを示せ。
（２）曲線ｙ＝ｆ（ｘ）と直線ｙ＝ｘはただ１点で交わることを示せ。
（３）（２）の交点のｘ座標をｃとする。ｘ_1<cとし、x_2＝ｆ（x_1）,ｘ_3＝ｆ（x_2）と定める。このとき
x_1<x_3<c<x_2が成り立つことを示せ。

解いてくれるとうれしいです。お願いします。

回答No.1

endlessriver

f(b)=f(a)+(b-a)f'(c) (a<c<b)

(1) b-a>0,f'(x)<0　より、f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) < 0.

　つぎに、-f'(x)<1 から
f(a)-f(b)=(b-a)(-f'(c)) < (b-a).

(2) x>0とすると、0<c<xとして f(x)=f(0)+xf'(c)<f(0) （f'<0,x>0より）

　　g(x)=f(x)-xとおく。x>0のとき　g(x)<f(0)-x　つまり、g(f(0))<0
さらに　g(0)=f(0)-0=1　だから、中間値の定理より、

　　0<x<f(0)=1のxでg(x)=0となるものが存在する。つまり、x=f(x)となるものが存在する。
　　x=f(x)を満たし、異なるものが２つあったとして、x,yとする。x<yとしても一般性を

　　失わない。
　　y-x=f(y)-f(x)=(y-x)f'(c) < 0。 つまり、y<x となるが仮定と矛盾。

　　したがって、x=yであり、１つしかない。

(3)　c=f(c)として、x1<cとする。
　　c-x2=f(c)-f(x1)=(c-x1)f'(d)<0 (x1<d<c)　つまり、c<x2.

x3-c=f(x2)-f(c)=(x2-c)f'(d)<0 つまり、　x3<c.

x3-x1=x3-x2+(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+(x2-x1)=(x2-x1)f'(d)+(x2-x1)
=(x2-x1)(f'(d)+1)>0　つまり、x3>x1.