関数f（x）は微分可能で、-1<f'（x）<0,f（0）=1とする。

質問

関数f（x）は微分可能で、-1<f'（x）<0,f（0）=1とする。
（1）a<bのときf（a）>f（b）およびf（a）+a<f（b）+bが成り立つことを示せ。
（2）曲線y=f（x）とy=xはただ１点で交わることを示せ。
（3）（2）の交点のx座標をcとする。x（1）<cとし、x（2）＝f（x（1））、ｘ（3）=f（x（2））と定める、このとき
x（1）＜x（3）<c<x（2）が成り立つことを示せ。

どなたか教えて頂けませんでしょか？

回答No.1

zero_samu

やり方だけ簡単に出すので参考にしてください。
(1)f（b）=f（a）+Int[a、b]f'（x）dxでf'（x）<0を利用するとf（a）>f（b）が
　（f（b）-f（a））/（b-a）=f'（c）（式１）（a<c<b）となるcが存在する。
　　式１からf（a）+a<f（b）+bが導けます。
(2)曲線y=f（x）とy=xの交点とy=f（x）-xとy=0の交点が同じ
　　g(x)=f（x）-xと置いてg’(x)とg(x)の連続性から交点の存在を。
　　(1)を利用して交点が一点しかないことを示してください。
(3)(1)を利用してください。
　　具体的にはx（2）＝f（x（1））>f(c)
　　またcはy=f（x）とy=xの交点なので・・・