曲線C1:y=x^2/2 の点P(a,a^2/2) における放線と点Q

質問

曲線C1:y=x^2/2 の点P(a,a^2/2) における放線と点Q(b,b^2/2) における放線の交点をRとする。ただし、b≠a とする。次の問いに答えよ。
(1)bがaに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。Aの座標をaで表せ。
(2)点Pが曲線C1上を動くとき、(1)で求めた点Aが描く軌跡をC2とする。曲線C1と軌跡C2の交点の座標を求めよ。
(3)曲線C1と軌跡C2で囲まれた部分の面積を求めよ。

※この問題がわかりません。できるだけ詳しく教えてください
範囲は数学IIICです

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
点P(a,a^2/2)と点Q(b,b^2/2) における法線は
y-(a^2/2)=-(x/a)+1…(●)
y-(b^2/2)=-(x/b)+1…(□)

この交点の座標(x,y)は(●)と(□)を連立にして解いて
x=-ab(a+b)/2, y=1+(b^2+ab+a^2/2

b→aとすると　(x,y)→A(-a^3,1+(3/2)a^2)

(2)
曲線C2は
Aからaを消去して
C2:y=1+(3/2)x^(2/3)

(3)
C1とC2の交点のx座標は
x=±[√{6(√2)(1+√2)^(1/3)+9(1+√2)^(2/3)+9}]
　/{8^(1/4)*(√3)(1+√2)^(1/6)}
=±p(p>0)とおく。
S=2∫[0,p] {1+(3/2)x^(2/3)-(1/2)x^2}dx
これは簡単に積分できるのでやってみて下さい。

お礼

丁寧な解答を有難うございます

回答No.3

aurumnet

No.1です
おっと変な間違いしてましたね申し訳ない

回答No.1

aurumnet

たぶん法線の漢字ミスだとおもうけど・・・
(1)法線の方程式を求める
y-a=-(x-a)/a
y-b=-(x-b)/b
より交点を求めると
(x,y)=(-ab,a+b+1)
b->aとすると
lim(x,y)=(-a^2,2a+1)
（２）より一部省略
(2)(1)より
x=-ab・・・(1)
y=a+b+1・・・(2)
C1,C2の交点を求めるので
y=x^2/2
よって
a+b+1=(-ab)^2/2
変形すると
(b^2/2)*a^2 -a -(b+1)=0
この式が成り立つaの値は・・・
(1)、(2)に代入すると
(x,y)=・・・

(3)交点をx1,x2とすると
面積はx1からx2までC2-C1を積分したものになるので
∫(C2-C1)dx
=∫(C2-C1)dx/da*da

計算はきちんとやってないんで自分で解いてみてください