数IIIの問題です。（２）

質問

数IIIの問題です。（２）

放物線C:y=x^2上の異なる２点P(t,t^2),Q(s,s^2)(s<t)における接線の交点をR(X,Y)とする。
(1)X,Yをt,sを用いて表せ。
(2)点P,Qが∠PRQ=π/4を満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。

という問題です。(1)は分かりました(X=(s+t)/2,Y=st)。
(2)が、直線PR,PQとx軸の正の向きとのなす角をα、βとして、tanα=2t,tanβ=2s,tan(β-α)=tanπ/4より、(2s-2t)/(1+4st)=1
となるところまでは分かったのですが、それ以降がどうしていったらよいのか分かりません。教えて頂けたら幸いです。宜しくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

またまた、こんばんわ。

(1)より、X＝ (s+ t)/2, Y＝ st
(2)より、(2s- 2t)/(1+ 4st)＝ 1

あとは、これらから s, tを消去するだけだと・・・
もうちょっとだと思いますよ。

ちなみに、角度についてですがベクトルを使う手もありますね。
「なす角は 45度」ってことです。＾＾

お礼

なるほどー！
回答ありがとうございました＾＾

回答No.2

spring135

X=(s+t)/2　　　　　　(1)
Y=st　　　　　　　　 (2)
(2s-2t)/(1+4st)=1　　(3)

からs,tを消去する。
(3)から
2(s-t)=1+4st
両辺２乗する
4(s-t)^2=(1+4st)^2
(s-t)^2=(s+t)^2-4st
よって
4((s+t)^2-4st)=(1+4st)^2
(1),(2)を代入して
4((2X)^2-4Y)=(1+4Y)^2
標準形に直すと
X^2/a^2-(Y+3/4)^2/a^2=1
a=（√10）/4
よって双曲線

計算は再度確認のこと