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数IIIの問題です。(2)

数IIIの問題です。(2) 放物線C:y=x^2上の異なる2点P(t,t^2),Q(s,s^2)(s<t)における接線の交点をR(X,Y)とする。 (1)X,Yをt,sを用いて表せ。 (2)点P,Qが∠PRQ=π/4を満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。 という問題です。(1)は分かりました(X=(s+t)/2,Y=st)。 (2)が、直線PR,PQとx軸の正の向きとのなす角をα、βとして、tanα=2t,tanβ=2s,tan(β-α)=tanπ/4より、(2s-2t)/(1+4st)=1 となるところまでは分かったのですが、それ以降がどうしていったらよいのか分かりません。教えて頂けたら幸いです。宜しくお願いします。

noname#180825
noname#180825

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またまた、こんばんわ。 (1)より、X= (s+ t)/2, Y= st (2)より、(2s- 2t)/(1+ 4st)= 1 あとは、これらから s, tを消去するだけだと・・・ もうちょっとだと思いますよ。 ちなみに、角度についてですがベクトルを使う手もありますね。 「なす角は 45度」ってことです。^^

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質問者からのお礼

なるほどー! 回答ありがとうございました^^

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  • 回答No.2

X=(s+t)/2      (1) Y=st         (2) (2s-2t)/(1+4st)=1  (3) からs,tを消去する。 (3)から 2(s-t)=1+4st 両辺2乗する 4(s-t)^2=(1+4st)^2 (s-t)^2=(s+t)^2-4st よって 4((s+t)^2-4st)=(1+4st)^2 (1),(2)を代入して 4((2X)^2-4Y)=(1+4Y)^2 標準形に直すと X^2/a^2-(Y+3/4)^2/a^2=1 a=(√10)/4 よって双曲線 計算は再度確認のこと

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