微分法で求める曲線C2の方程式と交点PQを使った面積最大化の問題
- 微分法を使って曲線C2の方程式を求めると、y = -x^2 + 4ax - 8a^(2/3) + 2 となる。
- C1とC2が異なる2点で交わるためには、0 < a < √3 の範囲である必要がある。
- C1とC2の交点をP,Q、点R(0,2)を頂点とする三角形の面積を最大化する値を求めるため、α, βをC1=C2の解とし、直線PQの式を求め、点Rとの距離hを計算している。これにより、面積を PQ * h * 1/2 と表すことができる。具体的な計算は複雑であるため、他の方法があれば助かる。
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微分法
aを正の数とする。xy平面上の曲線C1:y=x^2のすべての点を〔a,(2a^2/3)+1〕に関して対象移動して得られる曲線をC2とする。 (1)C2の方程式を求めよ (2)C1とC2が異なる2点で交わるようなaの範囲を求めよ。 (3)aが(2)の範囲を動くとき、C1とC2の交点P,Qおよび、点R(0,2)を頂点とする三角形の面積を最大にするaの値を求めよ。 (1)y=-x^2+4ax-8a^2/3+2 (2)0<a<√3 (3)√〔2+√11〕/2 (1),(2)に関しては、あっていると思うんですが、(3)が自信ありません。どなたかこの答えをお願いします。 それから、(3)はC1=C2の式の解をα、βとして、直線PQの式をだして、点R(0,2)との距離hをだして、PQ×h×1/2=(√a^2の3次式)となり、この3次式の増減表をつかったんですが、かなり大変でした。ほかにいい方法があればお願いします。
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(1)と(2)二ついては正解ですね (3)については、3点(0、0)、(x1、yi)(x2、y2)が作る三角形の面積は、(1/2)|xiy2-x2y1|で求められることは知られています。 この問題の場合も、それをy軸に2だけ平行移動したと考えれば、P(α、α^2)、Q(β、β^2)、R(0、2)(α>β)で作る三角形の面積は、S=(1/2)|(α-0)(β^2-2)-(β-0)(α^2-2)|=(1/2)|(α-β)(αβ-1)|となる。‥‥(1) x^2=-x^2+4ax-8a^2/3+2より、6x^2-12ax+8a^-6=0の2つの解がαとβより、解と係数の関係よりα+β=2a、αβ=(8a^-6)/6‥‥(2) 又、(α-β)^2=(α+β)^2-4αβであるから、それらを(1)に代入すると、S=(4/9)|(4a^2+3)√(3-a^2)| a^2=t(0<t<3)と置くと、4a^2+3を根号の中に入れると、根号の中は、(3-t)*(4t+3)^2となるから微分をつかって増減表を書くと、0<t<3の範囲でt=7/4となる。このとき、a=√7/2である。 #計算は自信なし、検算してください。
その他の回答 (1)
(1)はあっていると思います。 (2)は、-√3<a<√3 ではないでしょうか (3)あまり変わらないかもしれませんが、別解です 交点のx座標をα=a-√{1-(1/3)a^2},β=a+√{1-(1/3)a^2}として出した後に 直線PQのy切片をSとして 直線PQの式が、傾き(α+β=2a)、で{a,(2/3)a^2+1}をとおることから y=2ax-(4/3)a^2+1 となり s(0,-(4/3)a^2+1) △PQR=△PSR+△QSR として考えて △PSR+△QSR=RS*(β-α)*(1/2) RS=2-{-(4/3)a^2+1}=(4/3)a^2+1 β-α=2√{1-(1/3)a^2} △PQR={(4/3)a^2+1}√{1-(1/3)a^2} あとは、√{1-(1/3)a^2}=t (0≦t<√3)として置き換え tの3次関数として・・・・
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