- ベストアンサー
数学IIIの微分の問題です。教えてください！
2つの曲線ｙ＝ｋｘ＾２ 、ｙ＝logｘ が共有点を持ち、その共有点における接線が 一致するような定数ｋの値を求めよ。 微分の問題が苦手でどうやって考えてとけばいいのか分かりません。 詳しく教えてください、よろしくお願いします！ ちなみに答えはｋ＝１/２eになります。
- shinylight
- お礼率34% (50/145)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
y=kx^2上の共有点Pの座標を(p,log(p))とおくと y=kx^2上の点でもあるから log(p)=kp^2 ...(1) 点Pでの接線の傾きの条件から 2kp=1/p ...(2) (2)より p^2=1/(2k) ...(3) (3)を(1)に代入 -(1/2)log(2k)=1/2 log(2k)=-1 2k=1/e ∴k=1/(2e) このときの共有点Pは (3)より p^2=e ∴p=√e ∴P(p,log(p))=(√e,1/2) この共有点における共通接線の方程式は y=(x-√e)/√e +(1/2) ∴y=(x/√e)-(1/2) となります。
その他の回答 (1)
- tetsuro53
- ベストアンサー率50% (3/6)
どうやって考えるか については、自分はとりあえずグラフを書きます。 グラフを書けば、この問題の場合、2つの曲線が接している場合のことを言っているのだな、とわかります。 するとすぐにk>0でなければならないと分かります。 (今回の場合は答えに影響無し) kx^2=logx は共有点のx座標を求めることができる方程式 微分して=でつなげた 2kx=1/x は傾きが等しいxを求めることができる方程式 したがって、これを連立(x消去)すればこの2つを同時にみたすkを求めることができる、ということです。 たぶん。
関連するQ&A
- 数学おしえてください！！
数学おしえてください！！ 曲線y＝xxx+4kx+1上のx座標が2にである点における接線が点(1、－1)を通るとき定数kの値をもとめよ 微分してkの値を場合わけするやり方だとおもうのですが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分
(1)0≦x≦1で定義された連続関数f(x)が0≦f(x)≦1を満たすとする。このときf(c)=cを満たす定数c(0＜c＜1)が少なくとも1つ存在することを示せ。 (2)y=logxとy=ax^2(a≠0)のグラフが共有点をもち、かつその点で共有接線をもつものとする。このとき、aの値と共通接線の方程式を求めよ。 (3)曲線√x+√y=√a上の点(x0,y0)における接線がx軸、y軸と交わる点をそれぞれ(α,0),(0,β)とするとき、和α＋βの値を求めよ。 (1)と(3)はどのようにして示す(解答する)かがわからず、(2)はlogx=ax^2の解き方がわかりません。どうか、皆さんの力を貸してください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の問題
関数F(X)＝X^3＋3X^2＋kX－1と定点A(1,0)がある。 (1)曲線Y＝F(X)上の点(t,F(t))における接線が点Aを通るための条件をkとtで表せ。 (2)点Aから曲線Y＝F(X)へ引ける接線が2本であるようなkの値を求めよ。 …という問題で、(1)は F'(X)＝3X^2＋6X＋k F'(t)＝3t^2＋6t＋k F(t)＝t^3＋3t^2＋kt－1 より接線の方程式を求めて A(1,0)を代入し k＝2t^2－6t＋1という答えが出ました。 (2)はどのように解いたらいいのでしょうか。 接線が2本ということは接点が2個ということから k＝2t^2－6t＋1が異なる2つの実数解を持てばよいことまで わかるのですが、 この先どう展開したら いいのでしょうか。 答えはk＝－3、5です。 答えの導き方を教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学III 微分
よろしくお願い致します。 関数 f(x)=x/e^x （-∞＜x＜∞） y軸上の点P（0 . p）からこの関数の曲線に3本の接線がひけるとする。 このようなyのとり得る値の範囲を求めよ。 先ほど解いたのですが行き詰ってしまったのでご指摘していただけると幸いです。 私はまず第二次導関数まで微分してグラフを書きました。 すると「x=1で最大値、x→∞で0に収束、x→-∞で-∞に発散」 というグラフが書けました。 そしてf(x)上の（t . f(t)）に接線が引けるとすると y={(1-t)/e}x＋(t^2)/e これがP（0 . p）を通るので代入し p=(t^2)/e しかしこのf(x)に接線を3本引ける事ってできるのでしょうか・・？ 2本以上って不可能だと思ったので（勘違いだったらすいません） とりあえず y=p g(t)=(t^2)/e として この2つの関数が共有点をもてば成立すると思いg(t)を微分しグラフを書き・・。 とやっていたらpのとる範囲は 0≦p となりました。 解答みると 0＜p＜4/e^2 解説を見るとf(x)に引ける接線の本数は p=(t^2)/e が2つの相異なる実数解の個数に等しいと書いてあります。この辺り私の理解力不足で納得できません。 恐縮ながら、かなり雑文で長々書いてしまい申し訳ありません。 どうか御指南をよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の微分について・・・
はじめまして。 もうすぐテストなのに、全くわかりません (1)関数 y=x^3-3x+2の上の点(2,4)における接線の方程式をもとめよ。 (2)関数 y=2^-1logx上の点(1,0)における接線の方程式をもとめよ。 (3)次の関数の極値を求めよ。 y=x^3-3x+1 次の関数を微分せよ (4)ルート(x^2-2x+2) (5)1/ルート(x^2+x+1) (6)e^-2x^2+x (7)cos(3x^2-1) (8)sinルート(x^2+1) 恥ずかしいですが、全くわかりません。 どうかよろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の問題です(2)
(1)mを定数とする。2次方程式x^2＋2(2－m)x＋m＝0について。 (1)m＝－1、m＝3のときの実数解の個数を、それぞれ求めよ。 (2)重解をもつようにmの値を定め、そのときの重解を求めよ。 (2)2次関数y＝x^2－2x＋2k－4のグラフとx軸の共有点の個数は、定数kの値によってどのように変わるか。 (3)次の2次関数のグラフがx軸に接するように、定数kの値を定めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。 (1)y＝－2x^2＋kx－8 (2)y＝（k^2－1)x^2＋2(k－1)x＋2 たくさんあってすいません。 よろしくお願いします(_ _)
- ベストアンサー
- 数学・算数
