定積分と面積（再質問）

質問

定積分と面積

区間[a,b］でｆ（ｘ）≧ｇ（ｘ）ならば、∫（a~b)f(x)≧∫（a~b)g(x)とあるのですが、
ｆ（ｘ）＝１、ｇ（ｘ）＝－３のときや、ｆ（ｘ）－－１ｇ（ｘ）＝－３のときは成り立たないように思えるのですが、いかがでしょうか？
（追加の内容）
ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が≧０ならばその面積の大小関係と一致しますが、≦０ならばその面積の大小関係と一致しないということでよろしいでしょうか？

回答No.6

naniwacchi · ベストアンサー

いま言われている「面積」は「解釈」であって、定義にはなってないかと。

＞x軸とx=aX=bに囲まれる面積のことです
これでもまだ「y＝f(x)」が抜けていますが・・・
これら 4つに囲まれた部分に対して、
　∫[a→b] f(x) dx

を面積というのではないですか？
ただし、区間：a≦ x≦ bにおいて、f(x)≧ 0の場合のみです。

それでは、f(x)≦ 0となる場合には、どう定義するのですか？
という場合分けを考えることになります。

質問で書かれている内容も
　∫[a→b] ｛ f(x)- g(x) ｝ dx

と書き直して、f(x)- g(x)＝ h(x)と置きなおせば、
h(x)≧ 0なのか、h(x)≦ 0なのかで分けて考えるということが自ずと出てくるはずです。
区間：a≦ x≦ bの途中で大小が入れ替わるときは、そこで積分区間を分ければいいです。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

こういう例はどうかな。

f(x)=sin(x)

これを 0～2πで積分すると 0。

つまり、面積と定積分が一致するのは
限られた条件下だけです。

回答No.5

shuu_01

区間 [a,b］ で ｆ（ｘ） ≧ ｇ（ｘ） ならば、∫（a～b) f(x) ≧ ∫（a～b) g(x)
について、tjag さんの疑問に沿って考えてみました

【１】 ｆ（ｘ） ≧ ０、ｇ（ｘ） ≧０ の時

　例：　 ｆ（ｘ）＝３、ｇ（ｘ）＝１のとき

　∫(a～b) f(x) dx
　∫(a～b) 3 dx
　＝ [3x](a～b)
　＝ 3（b - a）

　∫(a～b) g(x) dx
　∫(a～b) 1 dx
　＝ [x](a～b)
　＝ b - a

　となり、∫(a～b) f(x) dx、∫(a～b) g(x) dx
　どちら正（プラス） で f(x) は g(x) の３倍、
　積分も３倍、x 軸との間の面積も３倍です

【２】 ｆ（ｘ） ≧０、 ｇ（ｘ） ≦０ の時

　例：　 ｆ（ｘ）＝１、ｇ（ｘ）＝－３ のとき

　∫(a～b) f(x) dx
　∫(a～b) 1 dx
　＝ [x](a～b)
　＝ b - a

　∫(a～b) g(x) dx
　∫(a～b) （－3） dx
　＝ [－3x](a～b)
　＝ －3（b - a）

　となり、∫(a～b) f(x) dx ＞ 0 ですが、
　∫(a～b) g(x) dx　＜ 0 となります
　f（x）＞0、g(x) ＜ 0 なんで当たり前ですよね
　面積はどうかというと、、、、、、

　ちょっと難しいです

　「マイナスの面積」なんてのもあるようです

　ibaibabaibaiの日記　
　院生のための算数入門（５）　面積をめぐって
　http://d.hatena.ne.jp/ibaibabaibai/20100719/1279523487

　「マイナスの面積」　があると考えると、
　∫（a～b) f(x) 　はプラスの面積、
　∫（a～b) g(x) 　はマイナスの面積となり、
　やっぱり、
　∫（a～b) f(x) ≧ ∫（a～b) g(x)
　が成り立ってます

　でも、面積を　「x軸と x＝ a、X ＝ b に囲まれる
　（プラスの）面積」 とすると、

　その面積だったら g（x） の方は

　∫(a～b) （0 － g(x)） dx
　∫(a～b) 3 dx
　＝ [3x](a～b)
　＝ 3（b - a）

　と計算しなくちゃならず、
　面積は g（x） と x軸で囲まれた面積の方が大きくなります

【３】 ｆ（ｘ） ≦０、 ｇ（ｘ） ≦０ の時

　例：　 ｆ（ｘ）＝－１、ｇ（ｘ）＝－３ のとき

　まあ、【２】 と同じようなもんだから、省略しますｗ

【答え】

＞　ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が≧０ならばその面積の大小関係と一致しますが、
＞　≦０ならばその面積の大小関係と一致しない
＞　ということでよろしいでしょうか？

「マイナスの面積」 も考えると、積分と面積は一致し、

ｆ（ｘ） ≧ ｇ（ｘ） ならば、∫（a～b) f(x) ≧ ∫（a～b) g(x) だし、
面積も ｆ（ｘ） と x軸で囲まれる面積の方が ｇ（ｘ） より大きい
と言って良いです

でも、でも、「面積はプラスでだけ考える」 とすると、

tjag さんの考えるように、

ｆ（ｘ）＝１、ｇ（ｘ）＝－３のときや、ｆ（ｘ）－－１ｇ（ｘ）＝－３のときは
面積の大小には使えなくなります

それでも、∫（a～b) f(x) ≧ ∫（a～b) g(x) は成り立つので、

ｆ（ｘ） ≧ ｇ（ｘ） ならば、∫（a～b) f(x) ≧ ∫（a～b) g(x) は正しい
ので使って良いです

回答No.4

asuncion

回答No.3で1)と2)の結果が
同じにならない理由を
よく考えてみましょう。

回答No.3

asuncion

定積分と面積との違いを理解するための例題を挙げます。

f(x) = x^2 - 1
について、下記1)および2)を求めてください。
1)区間[0, 2]における定積分
2)y = f(x)のグラフと直線x = 0およびx = 2で囲む領域の面積

回答No.2

Tacosan

でその「面積」はどう定義されるのですか?

回答No.1

Tacosan

前半は既に
http://okwave.jp/qa/q8454577.html
で答えられているので無視.

で後半だけど, 「ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が≧０ならばその面積の大小関係と一致しますが」とか「≦０ならばその面積の大小関係と一致しないということでよろしいでしょうか」とかいっているときの「その面積」が
・なんの面積なのか
・それはどのように定義されているのか
を明らかにしてください.

補足

x軸とx=aX=bに囲まれる面積のことです