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なぜ積分で面積？
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おおざっぱに説明します．以下の説明にしたがって絵を描いて下さい． １．x軸，y軸を書いて適当にy＝f(x)≧0のグラフを描く． ２．区間a≦x≦t (a≦t≦b)の部分にある面積をS(t)とします．すると，区間a≦x≦bでの面積はS(b)－S(a)と書けます．tが微小変化ΔtするとSはΔSだけ変化します． t～t＋Δtの間でf(x)の最大値をＭ，最小値をmとします． ３．Δt＞0のとき ｍΔt≦ΔS≦ＭΔt ∴ｍ≦ΔS/Δt≦Ｍ Δt→＋0のとき，ｍ，Ｍ→f(t)となるので， f(t)≦S´(t)≦f(t) つまり S´(t)＝f(t) 両辺を区間[a，b]で積分すると， S(b)－S(a)＝∫[ a to b]f(t)dt 左辺は求めたい面積でそれが右辺の積分と自然と結ばれてしまいました． ４．Δt＜0のときも同じように ｍ(－Δt)≦－ΔS≦Ｍ(－Δt) ∴ｍ≦ΔS/Δt≦Ｍ Δt→－0のとき，ｍ，Ｍ→f(t)となるので， f(t)≦S´(t)≦f(t) つまり S´(t)＝f(t) 両辺を区間[a，b]で積分すると， S(b)－S(a)＝∫[ a to b]f(t)dt これでf(x)≧0のときは定積分が面積を表している事が分かったと思います． これをさらに一般的に使えるようにするには ５．次のg(x)，h(x)は正でも0でも負でもいいとします． ただし，常にg(x)≧h(x)とします． これをy軸の正の方向にＣ≧0だけ平行移動して 常にg(x)＋Ｃ≧h(x)＋Ｃ≧0となるように移動します． ６．絵を描けば分かるように g(x)とh(x)で囲まれた部分の面積と g(x)＋Ｃとh(x)＋Ｃで囲まれた部分の面積は全く同じですね． ７．１～４の結果を使えば，この面積は ∫[a to b][g(x)＋Ｃ]dx－∫[a to b][h(x)＋Ｃ]dx ＝∫[a to b][{g(x)＋Ｃ}－{h(x)＋Ｃ}]dx ＝∫[a to b][g(x)－h(x)]dx つまり，上の関数から下の関数を引けば囲まれた面積が計算できるんです．
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- rei00
- ベストアンサー率50% (1133/2260)
#5, #6 で Rossana さんが書かれている内容と同じだと思いますが，下記サイトには図がありますので考え易いかもしれません。 ◎ 解析学参考資料 （↓１番目） 「定積分」や「図形の面積」を。 ◎ 微分積分いい気分 （↓２番目） 「積分 1」を。
- 参考URL：
- http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html, http://phaos.hp.infoseek.co.jp/contents.htm
お礼
面白いサイトをありがとうございました
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
NO 9 の方が言われるとおり、 区分求積の話があれば イメージが浮かぶと思います。 でも、 最近の高校数学では、 計算が出来ればよい。 と言うような教科書のスタイルと 問題の出題傾向があります。 理由を深く考えることが、 まるで悪いことかのような 扱い方です。 ご自分で本を読んでみてください。 違う世界が見つかります。古い本ですが 解析概論 高木貞治 著 岩波書店 を薦めます。
お礼
ありがとうございます
今高校では 「積分とは微分の逆演算である」と教えます。 昔は まず「面積は分割して集めればよい。（区分求積）」 これは面倒だね。実は・・・といって微分とのつながりが 話されました。 どちらでも結論は同じですが、「面積は微小部分の和である」 というイメージが現在は非常につかみにくくなっています。 興味があれば大学で勉強してください。あるいは いろいろ本を読んでみてください。 というのがアドバイスかもしれません。
お礼
ありがとうございます
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
面積とは積分のことと定義されてます。 なぜ積分を面積と呼ぶのかというと…。積分は微小長方形の縦×横の和の極限であり、長方形の積分は縦×横なので、この命名は、小学校で習った「長方形の面積＝縦×横、面積の和は和の面積」の拡張として、十分に妥当と言えると思います。
お礼
定義なのですか、知りませんでした。 ありがとうございます。
- graphaffine
- ベストアンサー率23% (55/232)
面積になるとは限りません。体積にもなるし、長さにもなるし。 ということはおいといて、理論的には、2次元図形を積分して得られた値の事を面積といいます。ので、定義だからということになります。 もしこの解答に納得できないときは、貴方の面積の定義を教えて下さい。
お礼
おっしゃるとおりです。それを言うと複雑になるので、今回は面積だけを取り上げました。
- Rossana
- ベストアンサー率33% (131/394)
３～４の部分で少しおかしい所があったので訂正します． ３．Δt＞0のとき ｍΔt≦ΔS≦ＭΔt ∴ｍ≦ΔS/Δt≦Ｍ Δt→＋0のとき，ｍ，Ｍ→f(t)となるので， f(t)≦lim[Δt→＋0]ΔS/Δt≦f(t) つまり lim[Δt→＋0]ΔS/Δt＝f(t) Δt＜0のとき ｍ(－Δt)≦－ΔS≦Ｍ(－Δt) ∴ｍ≦ΔS/Δt≦Ｍ Δt→－0のとき，ｍ，Ｍ→f(t)となるので， f(t)≦lim[Δt→－0]ΔS/Δt≦f(t) 挟み撃ちの原理から lim[Δt→－0]ΔS/Δt＝f(t) 以上より lim[Δt→0]ΔS/Δt＝S´(t)＝f(t) 中辺と右辺を区間[a，b]で積分すると， S(b)－S(a)＝∫[a to b]f(t)dt
お礼
補足をありがとうございます
- acacia7
- ベストアンサー率26% (381/1447)
縦×横っていう単純な長方形は簡単に計算できるじゃないですか・・ で、関数ｆはｘが決まると定まる値を示しますよね？・・ つまり、縦がわかる・・ じゃぁ・・横ｘをかければ関数ｆの下側の面積に近い値が示せる・・ でも、ｘの値によってｆの値はまちまち・・ じゃぁ・・細かく短冊状に刻んで足せばいいじゃん？・・ てな発想です。
お礼
おっしゃることの原理はわかりますが、これと「積分する」ことが同じであることの証明について知りたいです。 ありがとうございます
- Mell-Lily
- ベストアンサー率27% (258/936)
関数 y=f(x) と、直線 x=0, y=0, x=a が囲む面積を表す関数を y=S(a) とすれば、 lim<h→0>{S(a+h)-S(a)}/h=f(a) が成り立っているからです。
お礼
＞lim<h→0>{S(a+h)-S(a)}/h=f(a)が成り立っているからです。 これが成り立っていることの証明を教えていただければよかったんですけど。 ありがとうございます。
- juvi
- ベストアンサー率31% (524/1684)
例えば定積分を一言で言葉で表現してしまえば、「定積分する範囲内でxを順番に変化させて、その変化させたすべてのf(x)の値を足すから面積になる」でOKでは？
お礼
「すべての値を足す」のが、なぜ「積分する」ということと同じなのですか？
- ymmasayan
- ベストアンサー率30% (2593/8599)
∫ｆ（ｘ）・ｄｘ とします。Xという地点でのf（X）という高さにX軸の微小幅dxをかけます。 これらを全部足し合わせたのが積分です。つまり,面積を出しています。
お礼
X軸の微小幅dxをかけることが積分することとなぜ同位置なのですか？ ありがとうございました
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