- ベストアンサー
微分に関する質問です
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
おそらく、微分方程式、 (x^2 - y)dx + xdy = 0 .... (*) を解く問題が元であると思います。 (*)は完全微分形ではありません。 ∵ (∂/∂y)(x^2-y) ≠ (∂/∂x)(x). そこで、(*)を「完全」にするべく両辺にかける関数(積分因子)が、 1/x^2 です。 dG=(1 - y/x^2)dx + (1/x)dy ...(**) に関しては、(∂/∂y)(1 - y/x^2) = (∂/∂x)(1/x) = -1/x^2. と「完全形」となり、G(x, y) = x + y/x = C, (C:定数) が dG=0 の解です。
関連するQ&A
- 微分、積分の一般化
微積分の一般化について、 dを差分演算子として df(x):=f(x+h)-f(x) と定めれば、普通の微分は df(x)/dx=(f(x+h)-f(x))/hで普通の定義と一致し、xを任意のg(x)とすることで、 df(x)/dg(x)=(f(x+h)-f(x))/(g(x+h)-g(x))として微分を一般化でき、積分についても ∫を差分演算子の逆、総和演算子として定めれば ∫f(x)dxの微分を考えたとき d∫f(x)dx/dx=f(x)dx/dx=f(x) として通常の微分と一致し ∫f(x)dg(x)=∫[f(x)dg(x)/dx]dx=∫[f(x)*g'(x)]dxとして一般化できますよね？ さらにこの定義なら連鎖律などを簡単に計算できますよね？ これは微積分の一般化になりますか？ それとこの定義の仕方について触れているweb等があれば教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 積の微分の公式 (dfdg/dx)=0?
ｙ＝ｆ（ｘ）×ｇ（ｘ）の微分は，(dy/dx)=(df/dx)g+f(dg/dx)だと思います。（微分そのまま＋そのまま微分）と暗記しました。この公式の証明として，次のような説明を見付けました。 (y+dy)=fg+gdf+fdg+dgdf y=fgより dy=gdf+fdg+dgdf 両辺をdxで割ると (dy/dx)=g(df/dx)+f(dg/dx)+(dgdf/dx) よって，微分そのまま＋そのまま微分が成り立つ。（右辺第３項 dgdf/dxですが，dgdfは微少量同士のかけ算ですから無視しているようです。） 質問１ 右辺第３項は無視しても良いのでしょうか。 次に，右辺第３項を無視したまま，上記の式をxで積分したときに元に戻るかどうか試しました。 y=fgより，f=y/g g=y/f (dy/dx)=(y/f)(df/dx)+(y/g)(dg/dx) 積分記号(1/y)dy=積分記号(1/f)df+積分記号(1/g)dg log|y|=log|f|+log|g| log|y|=log|fg| y=fg となり，元の原関数が導けました。 質問２ 右辺第３項を無視したままｘで積分して元に戻るかどうか試したのですが，元に戻りました。 私のした積分の計算はあっているのでしょうか。（右辺第３項を無視したまま計算を始めたことが気になります。）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分について質問です。
数学IIIでの質問です。 次の式からｄｙ/ｄｘをx及びyを用いて表せ xy=10 という問題なのですが自分は最初、 y=10/xとし dy/dx=10・(-1)/ｘ*2 dy/dx=-10/x*2 これが答えだと思ったのですが回答は 1・y+x・dy/dx=0 dy/dx=-y/x となっています。 これは積の微分公式を使ったということなんですが ｘｙを微分するときでも使えるんですか？ それとこのｘｙを微分するとｙになると思うんですがなぜ積の微分公式を使うのですか？ 回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式（リッカチと線形だと思ったんですが…）
微分方程式の問題についてもう1時間以上も悩んだのですが 突破口が開けません （１）xdy - ydx - 2(x^2 + y^2)dx = 0 （２）(y^4 + 2y)dx + {x(y^3) + 2(y^4) - 4x}dy = 0 （１）はリッカチ型かと思ったのですが、最初に見当で特殊解を 見つけるのがうまくできません。 （２）は dx/dy , x についての線形微分方程式だと思ったのですが そのあと (y^3 - 4) / (y^4 + 2y) を積分しなければならなくなり、 そこで詰まってしまいました。 考え方自体が違っているのか、計算ができないせいか分かりませんが お手上げ状態です。どうすれば解けるのでしょうか？ 途中式なども、少しでもあるととても助かります;;
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました！理解できました！