楕円の弧の長さを求める方法
- 楕円の弧の長さを求める方法について説明します。楕円の弧の長さは積分を使って計算することができます。具体的には、楕円のパラメータを用いて x = a cos(theta), y = b sin(theta) の関係式を立て、s = integ (sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx の式を積分することで求めることができます。
- この式では、x軸からの角度 theta を用いて楕円上の点の座標を表しています。そして、楕円の弧の長さを求めるために、パラメータ a, b を使って楕円の関係式を立てています。
- また、s = integ (sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx の式を使って弧の長さを計算します。この式では、sqrt(1 + (dy/dx)^2) によってピタゴラスの定理を表しており、楕円上の点の接線の傾き dy/dx を用いています。このようにして、楕円の弧の長さを求めることができます。
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楕円の弧の長さ
楕円の弧の長さ x = a cos(theta), y = b sin(theta) | ( 0 <= theta < 2pi) 点(a,0)から計った弧の長さsは0からxの区間の積分で s = integ (sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx として計算できます。ここでsqrtは根を求める計算、^2は2乗、integは積分をあらわします。 と本に載っていたのですが、sの式がどうしてこのように決まるのかがわかりません。 dy/dx と 1のお互いの二乗を足して根をとっているので、ピタゴラスの定理を 使っているかと推測できますが、なぜ1とdy/dxから求まるのかの概念がわかりません。 よろしくお願いいたします。
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楕円弧や円弧に限らず、曲線の長さの公式がそれです。 微分や積分を難しく考え過ぎていませんか？ 関数y=f(x)に対して微小区間 {a,f(a)}、{a+Δx,f(a+Δx)} を考えます。ここで、Δy=f(a+Δx)-f(a)とすると、この2点間の距離はピタゴラスの定理より l=√(Δx^2+Δy^2) Δx^2を根号外に出すと l=√{1+(Δy/Δx)^2}×Δx この結果のΔx→0の極限が √{1+(dy/dx)^2}×dx・・・(1) これを求める区間で合計（定積分）したものがその区間での当該曲線の長さになります。 (1)式の前にに定積分記号を付加すれば当該公式になります。
その他の回答 (1)
楕円の弧に限らず、曲線の微小部分 (x, y)～(x + dx, y + dy) を考えると、３点 (x, y)、(x + dx, y)、(x + dx, y + dy) は近似的に直角三角形を作ります。よって上の微小部分の長さは極限として ds = {(dx)^2 + (dy)^2}^(1/2) = |dx| {1 + (dy/dx)^2}^(1/2) （dx = 0 の点については少し議論が必要でしょうが、略。）
お礼
ありがとうございます。 参考になります。
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早速の回答ありがとうございます。