楕円の弧の長さ

質問

楕円の弧の長さ

x = a cos(theta), y = b sin(theta) | ( 0 <= theta < 2pi)

点(a,0)から計った弧の長さsは0からxの区間の積分で

s = integ (sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

として計算できます。ここでsqrtは根を求める計算、^2は2乗、integは積分をあらわします。

と本に載っていたのですが、sの式がどうしてこのように決まるのかがわかりません。
dy/dx と 1のお互いの二乗を足して根をとっているので、ピタゴラスの定理を
使っているかと推測できますが、なぜ1とdy/dxから求まるのかの概念がわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

ziziwa1130 · ベストアンサー

楕円弧や円弧に限らず、曲線の長さの公式がそれです。
微分や積分を難しく考え過ぎていませんか？
関数y=f(x)に対して微小区間
{a,f(a)}、{a+Δx,f(a+Δx)}
を考えます。ここで、Δy=f(a+Δx)-f(a)とすると、この2点間の距離はピタゴラスの定理より
l=√(Δx^2+Δy^2)
Δx^2を根号外に出すと
l=√{1+(Δy/Δx)^2}×Δx
この結果のΔx→0の極限が
√{1+(dy/dx)^2}×dx・・・(1)
これを求める区間で合計（定積分）したものがその区間での当該曲線の長さになります。
(1)式の前にに定積分記号を付加すれば当該公式になります。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

回答No.1

noname#185706

楕円の弧に限らず、曲線の微小部分 (x, y)～(x + dx, y + dy) を考えると、３点 (x, y)、(x + dx, y)、(x + dx, y + dy) は近似的に直角三角形を作ります。よって上の微小部分の長さは極限として
ds = {(dx)^2 + (dy)^2}^(1/2)
　　= |dx| {1 + (dy/dx)^2}^(1/2)
（dx = 0 の点については少し議論が必要でしょうが、略。）

お礼

ありがとうございます。
参考になります。