曲率半径と座標

質問

x,yは実変数tの連続関数とするとtを動かしたとき平面上の点(x,y)は弧を描きます。ある定点からの弧長をs、曲率半径をρとすると1/ρ={(x・)(y・・)-(x・・)(y・)}/(s・の3乗)となるところまでわかりました。x・はxをtで微分したもの、y・・はyをtで2回微分したものです。

そのあと添付画面の1行目1/ρ={(dx(dの2乗)y-(dの2乗)xdy}/{(dxの2乗+dyの2乗)の3/2乗}となる理由がわかりません。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

なんか補足が激烈ですね。なんで血が上っているのかな？

弧長表示から一歩進んで、一般の媒介変数表示の曲率の式が理解できるなら
かなりの力量があるはずなのに、「独立」がわからない？

ありえない話です。

とりあえず、問題をかたずけておきましょう。

変数x, y ですが、陽関数表示なら
yをxの関数とすればxは独立変数とみることもできるし、
xをyの関数とすればyは独立変数とみることもできる。

媒介変数表示なら
x, y は tの関数

媒介変数表示なら、独立変数は t だから

d^2x = (∂^2x/∂t^2)・dt^2
d^2y = (∂^2y/∂t^2)・dt^2

ちなみに イメージの中のuの展開式は u　の独立変数(関数uの入力パラメータ)が x, y の場合。
独立変数の名や数が変われば展開の形は変わります。妙なつなぎ合わせをやってはダメ。

y = t, x = t^3 なら

d^2x = 6t・dt^2
d^2y = 0
dx = 3t^2・dt
dy = dt

これを

(dx・d^2y - dy・d^2x)/(dx^2 + dy^2)^(3/2)

にいれて dt^3 で約分すれば曲率が求まります。

補足

あなたとても失礼な人ですね。

「なんで血が上っているのかな？」あなたが失礼な書き方をするからです。

「ありえない話です。」なぜいちいちこういうイヤミを書くんですか？

「陽関数」以下何を言っているのかわかりません。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

〉なぜ１行目以外に質問があると思ったのですか？

やっぱりないのかな? それはおいといて、3次曲線

x=t^3
y=t

はtを消去して、x=y^3 というかたちに
直せるでしょ？

これをイメージの式に入れてみれば、イメージの中の理屈が
ムチャクチャであることがすぐにわかりますよ。

偏微分では何が独立で何が従属かを把握するのが
基本中の基本。どれが関故で、どれが独立変数なのか
みわける修練が必要です。

補足

精神論はいりません。あなたはただワタシをバカにしたいだけなのでは？

回答No.8

Tacosan

言い換えるなら
x と y は関数関係にある
んじゃないんですか?

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

イメージの1行目以外も質問なんですか?

AN04 の回答が的確ですね。

補足

あなたの回答は省略しすぎていて何を言っているのかわかりません。なぜ１行目以外に質問があると思ったのですか？数学ですから全部つながってるので無意味な指摘ではないでしょうか。皮肉のつもりならからかうのはやめてください。

回答No.6

yyssaa

補足
(1/dt)^3というのは何ですか？数と同じに扱えるのですか？
＞数と同じに扱うのではなく、
1/ρ={(x・)(y・・)-(x・・)(y・)}/(s・の3乗)
={(dx/dt)(d^2y/dt^2)-(d^2x/dt^2)(dy/dt)}/(ds/dt)^3
の分子を(1/dt)(1/dt^2)を省いて(dxd^2y-d^2xdy)としているので、
分母も(1/dt)^3を省いて(ds)^3={√(dx)^2+(dy)^2}^3
={(dx)^2+(dy)^2}^(3/2)としているだけのことです。。

補足

「省いて」の意味がよくわかりません。

回答No.5

info22_

>ある定点からの弧長をs、曲率半径をρとすると
>1/ρ={(x・)(y・・)-(x・・)(y・)}/(s・の3乗) ...(※)
>となるところまでわかりました。

>そのあと添付画面の1行目1/ρ={(dx(dの2乗)y-(dの2乗)xdy}/{(dxの2乗+dyの2乗)の3/2乗}となる理由がわかりません。

(※)を書き直すと
1/ρ={(ｄx/dt)(d^2y/dt^2)-(d^2x/dt^2)(dy/dt)}/(ds/dt)^3
　　 ={(dxd^2y/dt^3)-(d^2xdy/dt^3)}/{(ds)^3/(dt)^3}
　　 ={(dxd^2y)-(d^2xdy)}/((ds)^2)^(3/2)
(ds)^2=(dx^2)+dy)^2より
1/ρ={(dx(d^2)y)-(d^2)xdy)}/((dx)^2+(dy)^2)^(3/2)

補足

^2というのは2乗のことですか？

「={(dxd^2y/dt^3)-(d^2xdy/dt^3)}/{(ds)^3/(dt)^3}」への変形がよくわかりません。

回答No.4

Tacosan

x と y は独立なの?

補足

独立というのはどういう意味ですか？曲線上の点はxとyの2変数で、xもyもtの関数ですが、そのときは独立なのですか？独立かどうかをどう使うのですか？

回答No.3

endlessriver

後半です。
uが何を意味しているか不明ですが、x,yの関数とするとz=u(x,y)は３次元空間の曲面に対応できます。

ここで、u=xなのですから、z=xという曲面、これはy軸に４５度で交差する平面です。
したがって、この場合1/ρ=0となります。

補足

質問の仕方がまずくて誤解を与えてしまったようです。

xやyは一般の２回微分可能な関数です。だから一般に1／ρ=0とはならないはずです。

質問は、dの2乗の定義に従ってxとyについての2変数関数としてすべての2階偏導関数をもつような一般の関数uについて（dの2乗）uは添付画像のように定義されるので、それだと(dの2乗)xや(dの2乗)yが0になってしまって、それは間違っているはずなのにどこが間違っているのかがわからないんです。

ρがu=xという特別な場合の曲率半径というわけではないです。

1番と2番の回答はそこに触れられていないので締めきりませんでした。

回答No.2

yyssaa

＞点(x(t),y(t))から点(x(t+△t),y(t+△t))までの弧長△sは
△s=√[{x(t+△t)-x(t)}^2-{y(t+△t)-y(t)}^2]だから、両辺を
△tで割ると
△s/△t=√[{(x(t+△t)-x(t))/△t}^2-{(y(t+△t)-y(t))/△t}^2]
△t→0の極限を考えて
ds/dt=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}だから
(s・の3乗)=(ds/dt)^3={(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}^(3/2)。
従って
1/ρ={(x・)(y・・)-(x・・)(y・)}/(s・の3乗)
={(dx/dt)(d^2y/dt^2)-(d^2x/dt^2)(dy/dt)}/(ds/dt)^3
={(dx/dt)(d^2y/dt^2)-(d^2x/dt^2)(dy/dt)}/{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}^(3/2)
であり、分子分母から(1/dt)^3を除いて書けば
=(dxd^2y-d^2xdy)/{(dx)^2+(dy)^2}^(3/2)と書けます。

補足

(1/dt)^3というのは何ですか？数と同じに扱えるのですか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

元の式のdtを因数としてくくりだす
だけだと思いますか?

お礼

因数の意味がわからないので詳しくおねがいします。

補足

どういうことでしょう？