曲率いろいろ

質問

１．弧長とは限らない助変数ｔで表示された曲線γ(t)=(x(t),y(t))の曲率κ(t)が以下であらわされることを示せ。
κ(t)=(x'y"-y'x")/(x'^2+y'^2)^(2/3)=det(γ',γ")/|γ'|^3

２．双曲線x^2-y^2=1のパラメータ表示 x(t)=cosht, y(t)=sinht(t∈R)を利用して曲率を求めよ。

３．曲座標表示 r=r(θ)(a≦θ≦b)で与えられる曲線の曲率をｒとその微分を使って表せ。

の３題です。２．は１．の曲率の公式にパラメータを代入したらいいのかな、と思って計算したのですが、分母が１、分子が(sinht)^2-(cosht)^2 = 1-2(cosht)^2になって、なんだかしっくりこないなぁ、という感じです。
３．は、r(θ)=(r(θ)cosθ, r(θ)sinθ)だとおいて計算したら、分母が(r(θ)^2 + r'(θ)^2)^(2/3)で分子が2r'(θ)+2r'(θ)r"(θ)sinθcosθ-r(θ)r"(θ)+r2(θ)(sin^2θ-cos^2θ)となってしまいました。
計算間違いだと思うのですが、計算をしなおしても解決しません。根本的に間違えているのかも…。

よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

１．κ(t)=|x'y"-y'x"|/(x'^2+y'^2)^(3/2)=det(γ',γ")/|γ'|^3
が正しいです。
sを弧長。
κ=|d^2r/ds^2|=|(d^2r/dt^2)(ds/dt)-(dr/dt)(d^2s/dt^2)|で（rはベクトルとする）気長に計算します。ds/dt=√{(x')^2+(y')^2}　d^2s/dt^2=(x'x''+y'y'')/√{(x')^2+(y')^2}をつかって、とても面倒ですが根気よく、根気よく。

２.分母の計算が―で、ちょっと違うか

３.κ=|dθ/ds|がもともとの定義。 するとds=√{r^2+(r')^2}dθ。

補足

回答ありがとうございます。まだ不明な点がいくつかありますので、質問させてください。

１．問題文で、「弧長とは限らない」とありますが、ｓを弧長として計算しても差し支えはないのでしょうか？

２．ですが、分母の計算は、(x'^2+y'^2)^(3/2)ですよね？私は
x'=siinht, y'=coshtで
x'^2+y'2=(sinht)^2+(cosht)^2=1
1^(3/2)=1
としたのですが、これは違っていますか？

よろしくお願いします。

回答No.4

endlessriver

＞１．問題文で、「弧長とは限らない」とありますが、ｓを弧長として計算しても差し支えはないのでしょうか？
　<r>をベクトルsを弧長、<t>を接線単位ベクトル（曲線のパラメータのt, <r>(t)=(x(t),y(t))とは異なる。太字で書けないので）とすると、教科書から
　<t>=d<r>/ds=(d<r>/dt)/(ds/dt)
　κ=|d<t>/ds|=|d^2r/ds^2|
　が導いてあるはずです。

＞２．ですが、分母の計算は、(x'^2+y'^2)^(3/2)ですよね？私は
x'=siinht, y'=coshtで
x'^2+y'2=(sinht)^2+(cosht)^2=1
1^(3/2)=1
としたのですが、これは違っていますか？
　x'^2+y'2=(sinht)^2+(cosht)^2=cosh 2t　です。
　e^t,e^(-t)に分解して計算して下さい。

　なお、分子は(sinht)^2-(cosht)^2 = -1　です（絶対値はとってないけど）。

お礼

ありがとうございます。
やってみます。
また分からなくなったら教えてくださいm(__)m

回答No.3

endlessriver

３．の分子はもっと簡単になるようです。
|2(r')^2-r'r''+r^2|

回答No.2

endlessriver

＃1です。3番は誤りでした。