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平面曲線の曲率の計算について

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  • 質問No.9625311
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お礼率 62% (105/167)

 曲率の計算が合いません。元ネタは下の画像です。
 画像の de1/dt を (t↑)' で表しています。
 私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。

 そこで
        x''y' - x'y''        y''x' - y'y''
  (t↑)'= ( y'──────────────, x'────────────── ).
      ( (x')^2+(y')^2 )^(3/2)   ( (x')^2+(y')^2 )^(3/2)

から直接|(t↑)'| を計算したのですが、画像の(39)と合いません。おかしなところを指摘してください。

 添付画像の微分記号は計算するとき煩雑なので
  a = x', b = x''
  c = y', d = y''
  a^2 + c^2 = (x')^2+(y')^2
と置くと

       c(bc-ad)     a(ad-bc)
  (t↑)'= ( ──────────, ─────────── ).
      (a^2+c^2)^(3/2)  (a^2+c^2)^(3/2)

 ここで |(t↑)'|^2 を計算する。
 分母は ( (a^2+c^2)^(3/2) )^2 = (a^2+c^2)^3
 分子は
  (c(bc-ad))^2 + (a(ad-bc))^2
  = c^2( (bc)^2 + (ad)^2 - 2abcd ) + a^2( (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd )
  = c^2(bc)^2 + c^2(ad)^2 - c^2(2abcd) + a^2(ad)^2 + a^2(bc)^2 - a^2(2abcd)
  = (bc)^2(a^2+c^2) + (ad)^2(a^2+c^2) -2abcd(a^2+c^2)
  = (a^2+c^2)( (ad)^2+(bc)^2-2abcd )
  = (a^2+c^2)(ad-bc)^2.

       (a^2+c^2)(ad-bc)^2  (ad-bc)^2
  |(t↑)'|^2 = ──────────── = ─────────.
        (a^2+c^2)^3    (a^2+c^2)^2
       |ad-bc|
  |(t↑)'| = ───────.
      a^2+c^2

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1

ベストアンサー率 60% (14/23)

・・・・私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。
--------------------------
※ |(t↑)'| はtに関する微分ではなく、弧長parameter s に関する微分です。
(普通、dr/dsをr'(s) と書き、tでの微分dr/dtはr(t)の上にdotをつけます)
(t↑)'=(d/dt)|(t↑) /(ds/dt), ds/dt=(a^2+c^2)^(1/2).
です。
お礼コメント
musume12

お礼率 62% (105/167)

> ※ |(t↑)'| はtに関する微分ではなく、弧長parameter s に関する微分です。
 いやいやそうでした(笑)。いつも丁寧な回答まことにありがとうございます。
投稿日時 - 2019-06-13 09:36:05
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