曲線の曲率の計算について

質問

曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、
結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。
ちなみにこれはf(x)=logxの曲率を求める過程ででてきたものです。

また、現状は曲率を求める公式に当てはめて値を求めているのですが、
曲率とはいったいなんなのかさっぱりわかりません。
インターネットで調べたところ曲率とは、ようするに物理などででてくる加速度みたいなもので
曲率半径は、ようするに円の半径のようですが、
なぜ加速度や半径と言わないで、わざわざ別の言葉で曲率という言葉を使うのでしょうか？

それから参考書をみてみると曲率の証明する過程で、
曲線r(t)=x(t)i+y(t)jの単位接線ベクトルはＴ＝dr/dsで与えられる。
ここでs=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtは曲線の長さであると書かれているのですが、
なんのことを言っているのかわっぱりわかりません。
イメージが出来ない感じです。
r(t)=x(t)i+y(t)jのところは曲線上の位置を表しているのかなとなんとなく理解できますが、
単位接線ベクトルや曲線の長さであるというところがわかりません。

どなたか教えてください。
わかりやすい回答お待ちしております。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＞曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、
＞結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。

　曲率についての説明は＃１さん、＃２さんが詳しく説明しておられますので、式変形だけ説明します。

　(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)
=(1/x^2)×1/((1+(1/x^2))^3/2)
=1/{x^2*(1+1/x^2)^(3/2)}　　　　ここまではすべての項を分母に移しただけです。
=x/{x^3*(1+1/x^2)^(3/2)}　　　　←　分母・分子にxを掛けます。
=x/[x^3*{(1+1/x^2)^3}^(1/2)]　　←　( )^(3/2)を　{ ( )^3 }^(1/2)　に分けます。
=x/[{x^6*(1+1/x^2)^3}^(1/2)]　　　←　分母のx^3 を{ }^(1/2) の中に入れます。
=x/[(x^2+x^2/x^2)^3}^(1/2)]　　←　分母のx^6 を ( )^3 の中に入れます。
=x/[{(x^2+1)^3}^(1/2)]
=x/(x^2+1)^(3/2)

　よろしければ参考にしてください。

回答No.4

hugen

[曲率]=[曲がり具合]
例えば、道路のきついカーブは、曲率が大きい。
ゆるいカーブは、曲率が小さい。
きついカーブは、ちょっと進んでも向きが大きく変わる。
ゆるいカーブは、進んだ割りに向きが変わらない。
向きの変化を比較するために、進んだ距離をそろえる。
例えば、１進んだときの向きの変化に換算する。
向きの変化は、角度の変化で測定することにする。
出発点から、距離にして s 進んだときの向き(速度、接線)の基準線からの角度を θ
そこから、さらに わずかに Δs 進んだときの角度変化をΔθ とすると
Δθ÷Δs＝Δθ/Δs　　は、１進んだあたりの角度変化（其の間の曲がり具合の平均）です。
其の点のなるべく近くの状態を知るため、Δs → 0　　とすると
lim[Δs→0]Δθ/Δs=dθ/ds　は、θを s の関数として微分したもので
これが、其の点の曲率です。
半径 r の円の場合、　　　Δs＝rΔθ　　　だから
Δθ/Δs=1/r　（一定)　で,　　　　　　　　曲率　dθ/ds=1/[半径]
一般の曲線で、ある点の曲率（曲がり具合）をρ とし、
其の点で接して同じ曲率をもつ円の半径を r とすると、
1/r=ρ 　　より　　r=1/ρ
そこで、1/ρ　を曲線の其の点での曲率半径という。

回答No.2

alice_44

平面の基底ベクトルを i,j として、r(t) = x(t) i + y(t) j と
変数 t で媒介変数表示された曲線 r(t) の接ベクトルは、
dr/dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j です。

更に、t の関数 s(t) があるとすると、r の接ベクトルは、
dr/ds = (dr/dt) / (ds/dt) = { (dx/dt) i + (dy/dt) j } / (ds/dt)
とも表せます。合成関数の微分ですね。

ここで、dr/ds が単位接ベクトルであるような、
すなわち ∀t, |dr/ds| = 1 であるような s を求めたいと考えると、
方程式 √{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } / (ds/dt) = 1 が得られます。

少し変形すると、ds/dt = √{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } より、
s = ∫ √{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } dt となります。
なーんだ。s の正体は、曲線 r の弧長でした。
この積分を r の弧長と呼ぶ理由は、A No.1 に詳しく書かれています。

dr/ds が単位接ベクトルになるような媒介変数 s を用いて
曲線を表示しておくと、後でイロイロ便利なので、
このような s は、「弧長パラメータ」と呼ばれて、頻用されます。

どう便利かって？ それは、貴方の教科書のそこから少し先の箇所に
出てきます。今は、そーいうもんだと思って、読み進めましょう。

回答No.1

do_ra_ne_ko

微分積分学の入門時の最重要部分です。

先ず曲線の長さ　s=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt　から始めましょう。

例えば、ｙ＝ｘ＾２という曲線を例にとります。
この曲線の２点間の距離をどうやって求めるか、求め方を決めるかを例にとります。
（ｘ、ｙ）＝（１，１）、（２、４）の２点の曲線の長さは⊿Ｓ＝√（２－１）＾２＋（４－１）＾２で近似できます。
もう少し一般化して、（ｘ、ｙ）と（ｘ＋⊿ｘ、ｙ＋⊿ｙ）という２点の距離の近似値は
　　　　　⊿Ｓ＝√｛（（ｘ＋⊿ｘ）－ｘ｝＾２＋｛（（ｙ＋⊿ｙ）－ｙ｝＾２
　　　　　　　＝√（⊿ｘ＾２＋⊿ｙ＾２）
となります。

ここで、⊿ｘ→０　（自動的に⊿ｙ→０）の極限をもって微小曲線長さ⊿Ｓと定義します。
極限であることを明示するため、⊿に代えてｄを使うことにします。
つまり、ｄＳ＝√（ｄｘ＾２＋ｄｙ＾２）

このままでは都合が悪いので一工夫します。
ｙ＝ｘ＾２のｘ、ｙがともに例えば時間 ｔ の関数とします。 説明用に時間としただけでなんでもよろしい。
そうすると、ｘ＝ｘ（ｔ）、ｙ＝ｙ（ｔ）　曲線はｒ（ｔ）)=x(t)i+y(t)j　と書けます。　i はｘ方向、j はｙ方向を示します。

　t を使えば　ｄＳ＝√（ｄｘ＾２＋ｄｙ＾２）
　　　　　　　　　　＝√｛ｄｘ（ｔ）＾２＋ｄｙ（ｔ）＾２｝、　計算の都合上、dt で割って dt を掛けますと
　　　　　　　　　　＝√[{ｄｘ（ｔ）/dt}＾２＋{ｄｙ（ｔ）/dt＾２｝]dt、 ｄｘ（ｔ）などの t 表示を省略すると
　　　　　　　　　　＝√｛（ｄｘ/dt）＾２＋（ｄｙ/dt）＾２｝dt

微小ではあるが正確に表示された微小曲線を寄せ集める、つまり積分すると
　　　　　　　　　　s=∫√{ (dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt

これがご質問にあった、曲線の長さを与える式の意味です。
曲線の長さの意味がわかるのは高校生になって微積分を習ってからです。
従って、少々まごつくのはごく普通のことです。
頑張ってください！