曲率の問題

質問

ｘyz空間のxz平面内に、z軸と交わらない曲線z=f(x)(x>0)がある。この曲線をz軸周りに1回転してできる曲面Sを考察するとする。

1. 曲面Sの独立な接ベクトルを2つ求めよ。
2. 曲面Sの単位法線ベクトルn(r, θ)を求めよ。
3. 曲線Sの第一基本形式（誘導計量）Iを求めよ。
4. 曲線Sの第二基本形式（外的曲率）IIを求めよ。
5. 曲線Sのガウス曲率Kと平均曲率Hをそれぞれ求めよ。

という問題なのですが
教えてください。
テスト前で困っています。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

曲面Sを Z軸からの距離 r、Z軸との角度 θ で
表すことができれば、あとは公式に従って手を動かすだけです。

p(r, θ)=(r・cosθ, r・sinθ, f(r))

1. は ∂p/∂r, ∂p/∂θ を求めれば OK。外積作ってベクトル長で割れば 2. です。

あとは、教科書に載っている公式に従って, K, H まで突き進んでください。
機械的な計算です。

これをいろんな曲面でやってみることで感覚がつかめてきます。