ベクトルの問題です。（単位接線、法線ベクトル、曲率半径を求める）

質問

双曲線　xy=1　(x>0)　がある。この双曲線上を、xの増加方向に一定の速さＶ0で移動する点がある。t=0ではx=1であったとする。このとき、時刻tにおける単位接線ベクトルＴ、単位法線ベクトルＮ、曲率半径Ｒ(=1/κ)を求めよ。

という問題です。点をＰ(t)＝（ t+1, 1/(t+1) ）と置いたのですが、これはあってますよね？それでＴ＝(１/Ｖ0)*(1,　-1/(t+1)^2　）と出したのですがこれも自信がありません。ＮとＲについてはまったく分かりません。どなたか教えていただけないでしょうか・・・。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度まで
もっと気楽に考えたほうがいいのでは？
ｙ=1/x　で　x=1+Vot とすれば、y(t)=1/x(t) になりますね。
そこで、ｔを変数として求めればいいんじゃないかな。

xy=1, x>0, x(t)=1+Vot
y(t)=1/x(t)=1/(1+Vot)
y'=dy/dt=-Vo/(1+Vot)＾2
y''=d＾2y/dt＾2=2Vo＾2/(1+Vot)＾3

接線
Y-y(t)=y'{X-x(t)}
Y-{1/(1+Vot)}=y'{X-(1+Vot)}={-Vo/(1+Vot)＾2]{X-(1+Vot)}
法線
Y-y(t)=-(1/y'){X-x(t)}
Y-{1/(1+Vot)}=-(1/y'){X-(1+Vot)}={X-(1+Vot)}/{Vo/(1+Vot)＾2]
曲率半径
R=（1+y'＾2)＾(3/2)/y''
={1+{Vo/(1+Vot)＾2}＾2}＾(3/2)/{2Vo＾2/(1+Vot)＾3}
={1+{Vo＾2/(1+Vot)＾4}＾(3/2)/{2Vo＾2/(1+Vot)＾3}

参考程度まで

回答No.5

oshiete_goo

#4のspringsideさんのご指摘はもっともで，
確かに普通曲線上の速さ（曲線に沿った速さ）が一定になるように問題設定されますね．
この問題でも，問題文を読み返すと，その解釈である可能性もかなりあって，
そうすると，x(t)＝1+Vot でなく，
曲線に沿った速さ　ｖ＝√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}　が一定になるように移動することになります．
この場合の式　x(t)＝・・・　は質問者さんの練習問題としてお任せします．

回答No.4

springside

＃１の者です。

「xの増加方向に一定の速さＶ0で移動」という問題文の解釈なのですが、「x座標が増加する速さがＶ0（y座標は関係ない）」と解釈すればx(t)=1+V0tになりますが、本当にそうなのでしょうか。
普通、
　「点（x(t), y(t))の速度」は、ベクトル(x'(t), y'(t))
　「点（x(t), y(t))の速さ」は、速度の大きさ＝√[x'(t)^2+y'(t)^2]
というのが定義だと思うのですが。

全然解決になっていなくてすみません。

回答No.3

oshiete_goo

xy＝1 を全微分して
ydx+xdy＝0
これは，曲線の接ベクトル(dx,dy)と(y,x)の内積０より
(dx,dy)⊥(y,x)を表す．

法線ベクトルＮをまず求める．
(y,x)＝(1/x,x)//(1,x^2)
より，法線ベクトルの１つとして　→n＝(1,x^2)　をとって絶対値を１に規格化すると，
単位法線ベクトル　→N＝{1/√(x^4＋1)}(1,x^2)

すると，単位接線ベクトル→Ｔは，(y,x)と直交する(x,-y)から同様に作ってもよいが，→Nと直交するように安直に
→Ｔ＝{1/√(x^4＋1)}(x^2,-1)
ととれる．
ただし，いずれも
x(t)＝1+Vot
を代入して時刻tの関数で表すものとする．

回答No.1

springside

点P(t)の置き方ですが、問題の条件では、（ t+1, 1/(t+1) ）ではなく、以下のようになりませんか。

　P(t)=(x(t), 1/x(t))　ただし、x(0)=1、x'(t)>0

速さの条件に関しては、P(t)の速度は（x'(t), -x'(t)/x(t)^2)なので、速さは、 √[x'(t)^2+x'(t)^2/x(t)^4]となり、これが、=V0

以上の条件の下でT、N、Rを求めるのではないでしょうか。

補足

T = 1/Ｖ0 * (x'(t), -x'(t)/x(t)^2)　でいいのでしょうか？答えにx(t)が入っていても大丈夫ですか？それとも関数がちゃんと出るのでしょうか。ＮとＲはどうやって求めるのでしょうか。公式みたいのがあれば教えてください。