単位法線ベクトル

質問

たとえばある曲面Sにおける単位法線ベクトルが[1,1,1]であるときその単位ベクトルと反対向きのベクトル[-1,-1,-1]も単位法線ベクトルといえると考えてもよいのでしょうか？

以下は問題で
x^2+y^2-z-1=0であらわされた曲面Sの点(1,1,1)における単位法線ベクトルを求めよというものです。
r'x=i + 2xk
r'y=j + 2yk
としこれらのベクトル積を求めました。
大きさは3となったのですが、ベクトル積は歪対象則から[-2,-2,1]と[2,2,-1]ができてしまうと思います。
しかし答えとしては[2/3,2/3,-1/3]のみしか載っていません。
もしただひとつ決まるものならばどのような考えでそのひとつに決まるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

単位法線ベクトルは絶対値が1ですから、絶対値で割ってやる必要がありますね。
(2,2,-1)の絶対値は 3 ですから 3で割って
(1/3)(2,2,-1)=
となるわけです。

数学では単位法線ベクトルが、向きが逆の
-(2/3,2/3,-1)=(-2/3,-2/3,1)
のどちらでも正解に入るでしょう。おそらく、より正の成分が多い方の
(2/3,2/3,-1)で代表させるのでしょう。

物理学や電磁気学では力や電気力線や磁界などの向きが問題になりますので、座標系やベクトル積を右手系で扱うとか、左手系で扱うとかに決めて、曲面にも正側、負側を決めてやります。
たとえばベクトル積の場合だと
A×Bのベクトルの向きを右手系で定義すると、AをBに重ねるように回転したとき、その回転面に対して垂直な方向に向けた右ネジを同じ向きに回転させた時、右ネジがすすむ方向をベクトル積の正の方向とする。

また別の例として、閉曲面の周囲を閉曲面を左に見て1周するとき、その面に立てた右ネジを同じ方向に回転させ右ネジが進む側の方の曲面を閉曲面の正の側とし、その正の側の方に向いた大きさ１の法線ベクトルを単位法線ベクトルと定義して不確定要素を排除しているかと思います。

右手系、左手系、その間の相互の変換については参考URLをご覧下さい。

参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B3%E6%89%8B%E7%B3%BB
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/AxialAndPolar/
http://wiki.livedoor.jp/atushiinliv/d/%BA%B8%BC%EA%BA%C2%C9%B8%B7%CF%A4%C8%B1%A6%BC%EA%BA%C2%C9%B8%B7%CF%B4%D6%A4%CE%CA%D1%B4%B9

参考URL：

http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a11/20.pdf

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

単位法線ベクトル の定義は、「単位」＋「法線」＋「ベクトル」です。
その条件を満たすベクトルが常に２個づつあることは、解りますね？
括り出した係数が正になるように、単位法線ベクトルの向きを決めておこう
という考え方は、あまり勧められません。
それをやり出すと、その例のようにベクトル積を考えるときに
↑a×↑b を使うべきか ↑b×↑a を使うべきか迷ったり、
ときには、本来不要な場合分けが生じたりしてしまいます。
ひとつには決まらないのだ…ということを、ちゃんと理解したほうが良い。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞たとえばある曲面Sにおける単位法線ベクトルが[1,1,1]であるときその単位ベクトルと反対向きのベクトル[-1,-1,-1]も単位法線ベクトルといえると考えてもよいのでしょうか？

３つの成分が全部マイナス符号なので、「行儀が良くない」ということです。
ちなみに、［１，１，１］は単位ベクトルでないと思いますが・・・。

＞＞＞[2/3,2/3,-1/3]のみしか載っていません。

２対１で、プラス符号の勝ち（笑）ということだからだと思いますよ。
おそらく、[-2/3,-2/3,1/3]　と書いても、試験で減点されることはないでしょう。

補足

すいません、1/√3を忘れていました。

まだベクトル解析の応用は触れていないのでわからないのですが電磁気学への拡張を考えた際もそのように扱ってよいのでしょうか？
でも引力、反発力考えたらどちら向きか定めれるから問題ないのか・・・・・・。