ベクトル解析の問題です

質問

原点からの距離をr(=|r(↑)|とする．φ(r)=1/rで与えられるスカラー場に関して以下の問に答えよ．

(1)スカラー場φ(r)の等位面の外形を図示せよ．
(2)▽φ(r)を求めよ
(3)(▽^2)φ(r)を求めよ
(4)等位面に対する単位法線ベクトルn(r)を求めよ．ただし，単位法線ベクトルの向きは，φ(r)が増加する向きとする
(5)φ(r)の方向微係数が最大となる方向の単位ベクトルを求めよ．
(6)▽φ(r)の点P(位置ベクトルr_p)から点Q(位置ベクトルr_Q)までの線積分∫[P→Q]▽φ・drを求めよ．
(7)原点を中心とする半径aの球を考える．この球表面をSとする．S上での▽φ(r)の面積分∫[S]▽φ・dSを求めよ

(1)はφ(r)=1/cとすればx^2+y^2+z^2=c^2となるから半径の異なる球を図示していけばいいのですよね？

(2)は計算すると▽φ(r)=-r(↑)/r^3となりましたが，あっていますでしょうか．

(3)は0となりました

(4)はn=▽φ/|▽φ|として求められますよね？これを計算すると,-r(↑)/rとなりますが，問題には単位法線ベクトルはφ(r)が増加する向きとあります．そのためr(↑)/rとするのか-r(↑)/rとするのかがわかりません．どちらが正しいのでしょうか？またどうすればどちらが正しいのかがわかるのでしょうか

(5)nの方向が最大になると思ったのですが，そのまま(4)の答えを用いればよいのでしょうか？

(6)これに関してはまったくわかりません，どなたか教えていただけないでしょうか

(7)これはガウスの発散の定理を用いて0となりました．

これらの解答があっているかどうかが答えがないためわかりません．
もし分かる方がいらっしゃいましたら詳しく教えていただけないでしょうか．

よろしくお願いします

回答No.1

noname#130496 · ベストアンサー

(4) rから原点への方向だからrと反対の向きになるのでしょう。
(6) 線積分はr: [a, b]→R^3について∫[a, b] ∇φ(r(t))・r ' (t) dt。
変数変換x=φ(r(t))で∫[φ(P), φ(Q)] dx=φ(Q)-φ(P)。

お礼

ありがとうございました