曲率半径について

質問

曲率半径について
関数ｙ＝a1X^(1/2)+a2X^(3/2)のようなべき関数の原点X=0での曲率半径の求め方がわかりません。
いろいろ調べた結果、R=（1+y´）^3/2/（｜ｙ”｜）のような公式があるようなんですが、
この関数の場合、微分しても全項からXが消えないため、X=0を代入したときに全項0になってしまします。
この考え方が間違っているんでしょうか？
この場合の曲率半径の求め方を教えてください。お願いします。

回答No.3

ryooji_f

曲率半径Rの算定式はtaka2100さんの書かれた公式で合っています
結論だけ書きますね

関数yを公式に代入し、まとめた結果は以下の通りです
R=(x^(3/2)*((9*a2^2*x^2+(6*a1*a2+4)*x+a1^2)/x)^(3/2))/(2*(3*a2*x-a1))

x=0とすると0割りが発生しますのでlimit(x→+0)を取ります
R=-a1^2/2
（a1>0とした結果です。もしa1<0ならR=a1^2/2）

曲率半径を計算する公式が何故このような形なのかはurlを参照下さい
手前のblogで恐縮ですが参考になれば幸いです

参考URL：

http://d.hatena.ne.jp/ryooji_f/20111220/1324383973

回答No.2

noname#185706

＃１の回答で、下から２番目の段落
「R = 0 というのが・・・」
は内容が不正確でした。その段落を取り消します。

お礼

遅くなってすいません。
ご回答ありがとうございました。
しかし、いまだ解けない状態です。
ほかの方法を探してみます。

回答No.1

noname#185706

簡単のため
y = x^m　(x >= 0, m > 0)
を考えます。
y' = m x^(m-1) 、
y'' = m (m-1) x^(m-2) 。
m の値で場合分けします。

（１） m = 1 の場合
曲線の方程式は y = x で、これは直線なので、曲率半径は明らかに無限大。

（２） m > 1 の場合
原点での接線の傾き y'(0) = 0 なので、原点で曲線に接する円を考えると、その中心は y 軸上にあります。
そこで、中心が y 軸上の点 (0, r) にあり、原点で曲線と接し、原点ではない曲線上の点 (X, Y) を通る円を考えると、
Y = X^m
X^2 + (Y - r)^2 = r^2 。
これらより
r = (X^2 + Y^2)/(2 Y)
　= {X^(2-m) + X^m} / 2 。
X → 0 での r の極限値が求める曲率半径 R 。
1 < m < 2 のとき、 R = 0。
m = 2 のとき、 R = 1/2 。
m > 2 のとき、 R は無限大に発散。

（３）0 < m < 1 の場合
x → 0 で、接線の傾き y' → +∞ なので、原点で曲線に接する円の中心は x 軸上にあります。（２）と同様に考えてゆけばよいのですが、x と y の役割を入れ替えるため、y = x^m の逆関数 y = x^(1/m) を考えれば（２）の結果が使えて、
0 < m < 1/2 のとき、 R は無限大に発散。
m = 1/2 のとき、 R = 1/2 。
1/2 < m < 1 のとき、R = 0 。

原点での曲率半径 R のまとめ
0 < m < 1/2 ... ∞
m = 1/2 ....... 1/2
1/2 < m < 1 ... 0
m = 1 ......... ∞
1 < m < 2 ..... 0
m = 2 ......... 1/2
m > 2 ......... ∞

別の導き方として、円の中心を軸上に与えずに、原点、(X, X^m)、(2X, (2X)^m) の３点を通る円の方程式を一般的に求め、そこで X → 0 として R を求める方法もあります。結果は当然、上と同じになります。

R = 0 というのが感覚的にわかりにくいですが、曲率半径 R は傾き y' の変化率の逆数みたいなもので、公式でも y'' に反比例する形になっています。ですから y'' → ∞ の点では R → 0 になります。何か考え違いがありましたら、どなたかご指摘ください。

質問文にある曲線も同じように扱うことができるのではないでしょうか。