二次関数からの曲率の求め方

質問

二次関数より近似的にその曲線の半径を求めたいと思っております。
二次関数の式は、「y=ax^2+bx(+c)」のような形です。（+cは関係ないと思いますが…）
このような二次関数の式から曲率を求める事が可能であれば、曲率からその円の半径を求める事が出来ると推測しております。
曲率自体に詳しい見識がありませんので、上記の考えも間違えているようでしたら指摘をして頂きたいと思っております。
ご教授の程よろしくお願い致します。

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

>ある曲線で形成された円の半径です。

まだ誤解があるかも知れませんが、円は円の式、即ち原点を中心とする円ならば
x^2+y^2=r^2
でしか表されません。

>曲線の二次関数の数式だけが分かっている状況です。この状況内で円の
>半径を求めたいと思っております。

2次関数で円の式でないのならば放物線か双曲線か楕円なのですが...

>上記の式にxが出てきておりますが、xには何を代入すればよろしいので
>しょうか？

質問者さんが書かれた放物線の式
y=ax^2+bx...(1)
の曲率半径が
R={1+(2ax+b)^2}^(3/2)/2a...(2)
である、という意味は、Rがxの関数である、つまりxのいたるところで曲率半径が異なる、ということです。たとえばx=0の場所での曲率半径は
R=(1+b^2)^(3/2)/2a...(3)
です。
(1)の放物線の対称軸はx=-b/2aですが、x=-b/2aを代入すれば、
R=1/2a...(4)
になります。ここで曲率半径は最小です。この地点から左右にはなれるに従って曲率半径が増えて行きます。

お礼

>まだ誤解があるかも知れませんが、円は円の式、即ち原点を中心とする円ならば
>x^2+y^2=r^2
>でしか表されません。

確かにそうですね。
考えが浅はかでした。
つまらない質問をしてしまい申し訳ございませんでした。
回答ありがとうございます。

回答No.1

jamf0421

質問者さんが何を望んでおられるのか理解できておりませんが、とりあえずy=f(x)なる関数の曲率半径は
R={(1+(dy/dx)^2)^(3/2)}/d^2y/dx^2
により与えられます。（曲率はこれの逆数）よってy=ax^2+bxの任意の点の曲率半径は
R={1+(2ax+b)^2}^(3/2)/2a
となります。

補足

質問内容が分かり難く申し訳ありません。
求めたい事と致しましては、
ある曲線で形成された円の半径です。
曲線の二次関数の数式だけが分かっている状況です。この状況内で円の半径を求めたいと思っております。
上記の式にxが出てきておりますが、xには何を代入すればよろしいのでしょうか？