四次関数の曲線の長さの算出

質問

数学得意な方教えてください。
四次関数y＝ax^4+bx^2の曲線上における２点の曲線の長さを求める式を教えてください。
曲線上の２点はA(x1,y1)とB(x2,y2)として式を教えてください。
よろしくお願いします

回答No.6

arrysthmia

三次または四次の多項式 f(x) と
２変数の分数式 g(x, y) とによって、
∫ g( x, √f(x) ) dx と書かれる積分を
「楕円積分」と言います。
その不定積分は、初等関数の組み合わせでは
表示できません。

適切な一次分数変換 u = (A x + B) / (C x + D)
によって置換積分すると、分数式 h(u) があって、
= ∫{ h(u) / √(1 - u^2)(1 - k^2 u^2) }du
という形に変形でき、

∫du / √(1 - u^2)(1 - k^2 u^2),
∫du √{ (1 - k^2 u^2) / (1 - u^2) },
∫du / { (1 - n u^2) √(1 - u^2)(1 - k^2 u^2) }
という標準形の組み合わせで表示できることが
知られています。

楕円積分の…
紹介・使用例： http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/yokoyama1/node7.html
公式まとめ： http://mis.edu.yamaguchi-u.ac.jp/kaisetu/sotsuron2007/i-anm-resume.pdf
数値計算： http://keisan.casio.jp/has10/Menu.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F07000700.%91%C8%89~%90%CF%95%AA

この問題の場合、f(t) = 0 の解で t = 0 以外の３個が、
（カルダノ法など使えば求まるとはいえ）あまり簡単な式
では書けないので、標準形へ帰着することすら、易しくは
ありません。

補足

ご丁寧な回答ありがとうございます。
本当に難しいですね．．．
それでは曲線の方程式の係数と曲線上の2点の座標が具体的な数値としてわかっているとしても2点間の曲線の長さを出すことは無理ということなのでしょうか？

回答No.5

arrysthmia

その計算は、
∫ √(1 + 16a^2 x^6 + 16ab x^4 + 4b^2 x^2) dx　
を x^2 = t で置換積分したのと同じことですが、
= ∫ √{ 4a^2 t^2 + 4ab t + b^2 + 1/(4t) } dt
となるだけで、あまり易しくはなりません。
= ∫ { √f(t) / (2t) } dt,
f(t) = 16a^2 t^4 + 16ab t^3 + 4b^2 t^2 + t
と書けば、
楕円積分であることが見え易くなるでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。
とても難しいですね(・_・;)
その先をもう少し教えていただけますか？

回答No.4

owata-www

訂正
dx→dt
です。

回答No.3

owata-www

＞∫√1+16a^2x^6+16abx^4+4b^2x^2 dx　まで計算したのですが、ここからはどうしたらいいのでしょうか？

調べた結果、このまま初等関数で不定積分を出すのは不可能のようです。

しかし、そもそも
y＝ax^4+bx^2ですから、x^2=tとおくとy=at^2+btと表すことができます
つまり
∫√（4a^2t^2+4abt+b^2+1）dx
を解けばいいわけです。この形なら不定積分は出せます。

後の計算はめんどうなのでご自分でお願いします
ただし、場合分けを忘れずに

回答No.2

Tacosan

ん～, どうなるんだろう. なんとなく, 一般的には不定積分できない可能性が濃厚なんだが, 定積分ならできるのかなぁ....

回答No.1

owata-www

このサイトでは、問題の丸投げは禁止事項となっております

ヒントだけ
これを参考にして解いてください
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kyokusen-no-nagasa.html

補足

すみません。説明が足りませんでした。
公式を調べて計算するところまでは自力でやったのですが、数学の知識がなさすぎて途中からできません。
∫√1+16a^2x^6+16abx^4+4b^2x^2 dx　まで計算したのですが、ここからはどうしたらいいのでしょうか？
よろしくお願いします。