パラメータ表示

質問

a,bを実数として、
x=cos(at)/cos(bt) 、 y=cos(at)/sin(bt)
とパラメータ表示したとき、どのような曲線になるでしょうか。
a=b=1のときとか、具体的な場合でもいいのでどのような曲線か知りたいのですが・・・。
アドバイスをお願いします。

回答No.5

staratras

>整数ではない場合、例えば、a=(sqrt(2)+2)/4、b=(sqrt(2)-2)/4とかでもグラフは書けるものでしょうか。

a=((√2)+2)/4≒0.85355…、　b=((√2)-2)/4≒-0.14644…となり、No.4のようにｔを消去したわかりやすい形の式にはできせんが、パラメータtの範囲を限定すればグラフは描けます。下の図は「KmPlot」というフリーのグラフ作成ソフトを使って描きました。

ただし注意すべきことは、No.4で示したaとbが整数の場合と異なり、0<t<2πの範囲ではグラフのごくごく一部しか描けないということです。お示しの例では、例えば0<t<2πでは下の図の黒色の部分しかなく、2π<t<6πの範囲を加えてもこれに赤色の部分が加わるだけです。

なぜならば、t'=2π+t　とおいてこれに対応する点の座標を(x',y')とすると、 例えばa=5,b=1の場合、
x'=cos5t'/cost'=cos(10π+5t)/cos(2π+t)=cos5t/cost=x
y'=cos5t'/sint'=cos(10π+5t)/sin(2π+t)=cos5t/sint=y

こうした周期性があるのでNo.4の例では、0<t<2πですべてをカバーできるのに対し、a=((√2)+2)/4、b=((√2)-2)/4の場合は、そうした周期性が見られないのですべてをカバーできないからです。この場合はｔの範囲を広げれば広げるほど異なったグラフが付け加わることになります。

「GRAPES」など適当なソフトを使ってパラメータtを増加させ、これに対応する点P(x,y)の位置を確認すると興味深いものがあります。cos(at)=0となるｔの値、お示しの例ではt=(2-√2)(2n±1)π　となるたびにPは原点を通過しますが、全体の動きは原点の近くを近日点とする離心率の大きい(細長い）毎回違った軌道を彗星が周回し続けているように見えます。（もちろんグラフは現実の彗星の軌道のような楕円や放物線ではありませんが、大まかに見た印象です）

回答No.4

staratras

b=1 でaを奇数にすると、原点を中心とする葉っぱ、あるいは「花結び」のようなきれいなグラフになります。

例えばa=3 とすると
x=cos3t/cost=(4cos^3t-3cost)/cost=4cos^2t-3だからcos^2t=(x+3)/4
x/y=tant だから　tan^2t+1=1/cos^2t　に代入すると
(x/y)^2+1=4/x+3 これを整理すると　x^3+3x^2+xy^2-y^2=0　

同様にa=5　とすると
x=cos5t/cost=(16cos^5t-20cos^3t+5cost)/cost=16cos^4t-20cos^2+5
16cos^4t-20cos^2+5-x=0 したがって　cos^2t=(5±√(5+4x))/8
tan^2t+1=1/cos^2t に代入して整理すると
x^5-5x^4+2x^3y^2+10x^2y^2+xy^4-y^4=0

なおこのグラフはa.bの値如何にかかわらずx軸に対称です。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
整数ではない場合、例えば、
a=(sqrt(2)+2)/4、b=(sqrt(2)-2)/4
とかでもグラフは書けるものでしょうか。

回答No.3

info222_

No.2です。

ANo.1の補足と訂正

a=b=1のとき
x=cos(t)/cos(t)=1
でxy座標では
直線x=1
のグラフですが、xの分母は約分してきえるものの
x=cos(t)/cos(t)、y=cos(t)/sin(t)と分母にcos(t)やsin(t)がある以上、sin(t)cos(t)≠0で
x,yが未定義となるから、この点はグラフから除きます。
したがってグラフのxy座標表示では
x=1 (-∞<y<∞(実数の範囲）、ただしy≠0)
となります。

a=2,b=1のときのグラフのxy座標表示の求め方は
x=cos(2t)/cos(t), y=cos(2t)/sin(t)
x/y=tan(t)
(ただし cos(t)sin(t)=0に対応する点(x,y)は除く。)
cos(t)=cos(2t)/x, sin(t)=cos(2t)/yより
(cos(2t)/x)^2+(sin(2t)/y)^2=1
1/x^2+1/y^2=1/(cos(2t))^2=1+(tan(2t))^2=1+(2tan(t)/(1-(tan(t))^2)^2=1+(2(x/y)/(1-(x/y)^2)^2
(x^2+y^2)/(xy)^2=1+4(xy)^2/(y^2-x^2))^2
(x^2+y^2)(y^2-x^2)^2/(xy)^2=(y^2-x^2)^2+4(xy)^2=(y^2+x^2)^2
x^2+y^2≠0で割って(xy)^2を描けると
(y^2-x^2)^2=x^2y^2(x^2+y^2)
(ただし,x,yが未定義のsin(2t)=0の点(x,y)は除く)
このグラフがANo.1に添付した図1のグラフです。

a=1,b=2のときや一般のa,bのときについては
仕事が多忙なので一段落してから、
続きの回答をしたいと思います。

回答No.2

info222_

a=b=1のとき
x=1
y=cot(t)=1/tan(t)なので　-∞<y<∞
したがってグラフは
x=1
の直線になります。

a=2,b=1のとき
x=cos(2t)/cos(t), y=cos(2t)/sin(t)=x tan(t)
tan(t)=y/x
nπ-π/2<t<nπ+π/2のとき
nπ-π/2<tan^-1(y/x)<nπ+π/2 (nは任意の整数)

添付図の図1ようなグラフになります。

a=1,b=2のときのグラフ
x=cos(t)/cos(2t), y=cos(t)/sin(2t)=x tan(2t)
tan(2t)=y/x
nπ-π/2<2t<nπ+π/2のとき
nπ-π/2<(1/2)Tan^-1(y/x)<nπ+π/2 (nは任意の整数)

添付図の図2ようなグラフになります。

注）
・フリーソフトのＧＲＡＰＥＳを使えばパラメーター表示のグラフのプロットができます。
・－∞t<∞に対して,t=tan^-1(y/x)を考えるときは－π/2<t<π/2と対応させるとf(x,y)＝０のグラフが一部（－π/2<t<π/2に対応する部分）だけしか描けませんので注意してください。

回答No.1

noname#232123

a, bを０でない実数としてｔを消去すると、
b*arccos{2x^2*y^2/(x^2+y^2) - 1}=a*arccos{2y^2/(x^2+y^2) - 1}
を得ます。微分するのは少々面倒ですが、
(a, b)=(3, 2)などとして計算してみてはいかがでしょう。