パラメーター

質問

パラメーターのグラフ

ｘ＝（１＋cosθ）cosθ、ｙ＝（１＋cosθ）sinθ(ーπ≦θ≦π）のグラフを書け。
添付画像のところまでは調べたのですが、θが、異なる値の時、ｘ、ｙは同じ値をとるか、グラフの凹凸が調べられません。教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

これは「カージオイド」と呼ばれる有名な曲線です。
　直交座標系の方程式：(x^2+y^2-ax)^2 = (a^2)(x^2+y^2)　...(1)
　極座標系の方程式：r=a(1+cosθ)
　　　（θ：0≦θ<2π または -π≦θ<πのどちらでも可）...(2)

（参考URL参照）。
「カージオイド」で検索すれば沢山出てきます。

x=(1+cosθ)cosθ, ｙ=(1+cosθ)sinθ (-π≦θ≦π）　...(3)

これをxy座標と極座標との関係式
　x=rcosθ,y=rsinθ ...(4)

とよく観察して見比べれば

　r=1+cosθ　(-π≦θ≦π） ...(5)

であることがわかります。
これを見たら「カージオイドの方程式だな」と気がつかないといけません。

これはカージオイドの極座標系の方程式、しかも非常に簡単な式なので
このまま極座標でグラフを書いた方がずっと楽でしょう。
直交座標系の方程式に直せば(1)の方程式で a=1 と置いた方程式になり随分複雑のなって
増減表を作るのが大変だと思います。
あえて質問者さんの増減表を生かすなら
　dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=0を満たすθのところのxでyは極値（極大値、極小値）をとります（接線の傾き=0）。
また
　dx/dy=(dx/dθ)/(dy/dθ)=0を満たすθのところのｙでxは極値（極大値、極小値）をとります（接線の傾き=±∞）。
そして、増減表にxの行とyの行とdy/dxの行を加えた方がいいでしょう。
増減表のθの範囲も本来の-π≦θ≦πの範囲で描いた方がいいでしょう。
通る点が少ないのでグラフが描きにくいのでもう少し通る座標点を計算しておいた方がいいでしょう。θ=±π/6,±π/2,±5π/3の時のx,yです。

極座標系の方程式(5)にもどって

　r=f(θ)=1+cosθ　(-π≦θ＜π)

ここでθ=πの等号を抜いたのはθ=-πの点(0,0)と一致するので２重カウントになるからです。

r=f(θ)の増減表はθの範囲　(-π≦θ≦π）で極座標で作ればいいでしょう。

そして、勿論、グラフは極座標平面で描きます。
といっても直交座標の上に重ねて描くだけでいいですけどね。

r'=f'(θ)=-sinθ
r'=0となるのはθ=0,±π
r''=f''(θ)=-cosθ

増減表は
θ　－π　…　　０　　…　　π
r'　０　　＋　　０　　－　　０
ｒ”＋　　　　　－　　　　　＋　　　　　
ｒ極小　増加　極大　減少　極小
　　０　↑　　　２　　↓　　０　
となりますが、θの間隔が粗すぎるのでcosθの値が計算しやすい
θ=π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6におけるr=f(θ)も計算しておいて
グラフを描くときにその点(r,θ)=(f(θ),θ)を通るようになめらかな曲線で結んで描きます。
f(θ)=!+cosθはθの偶関数なので、θ＜0側のグラフはθ=0の動径（原点を通る横軸）に対称にθ>0のグラフを折り返せばいいでしょう。
xの最小値、最大値は
　dx/dθ=-(2cosθ+1)sinθ=0から
　　cosθ=-1/2(θ=±2π/3)のとき x(min)=-1/4(y=(√3)/4)
　　sinθ=0(θ=0)のとき、x(max)=2 (y=0)
yの最小値、最大値は
　dy/dθ=(cosθ+1)(2cosθ-1)=0から
　　cosθ=1/2(θ=-π/3)のとき　y(min)=-3√(3)/4(x=3/4)
　　cosθ=1/2(θ=π/3)のとき　y(max)=3√(3)/4(x=3/4)
となります。

グラフは添付図のようになります。

極座標のグラフの描き方は偏角θの動径上に原点からf(θ)=1+cosθの距離の所に点をとり順に滑らかな曲線で連結していけばいいでしょう。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/カージオイド

回答No.1

shuu_01

質問の意味よく理解してませんが、grape でグラフ描いてみました