数学の質問

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次の問題について教えてください。
（１）sinθ＋cosθ＝１/2のときtanθ-1/tanθの値を求めよ。

（２）関数ｙ＝2ｘ＾3-12ｘ-16のグラフ上の点（ｘ、ｙ）が常に不等式ｘｙ≧ｋを満たすように実数ｋの値を求めよ。

（1）はtan＝sin/cosに変形し解けるかなと思いましたが、ｓｉｎ＾２-cos＾2が出てきてそこの処理の仕方がわかりません。

（2）は微分してグラフから判断するのかなと思いましたが、そこからさっぱりです。

よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

（１）sinθ＋cosθ＝１/2のときtanθ-1/tanθの値を求めよ。
＞(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ
=1+2sinθcosθ=1/4、sinθcosθ=-3/8
(sinθ-cosθ)^2=(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ
=1/4-4*(-3/8)=7/4、sinθ-cosθ=±√7/2
tanθ-1/tanθ=sinθ/cosθ-cosθ/sinθ
=(sin^2θ-cos^2θ)/(cosθsinθ)
=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)/(cosθsinθ)
=(1/2)(sinθ-cosθ)/(cosθsinθ)
=(1/2)*(±√7/2)/(-3/8)=±2√7/3・・・答
（２）関数ｙ＝2ｘ＾3-12ｘ-16のグラフ上の点（ｘ、ｙ）が常に不等式ｘｙ≧ｋを満たすように実数ｋの値を求めよ。
＞xy=2x^4-12x^2-16x=f(x)とおくと
f'(x)=8x^3-24x-16=8(x-2)(x+1)^2
f"=24x^2-24=24(x-1)(x+1)
f(x)はx＜-1で下に凸、-1＜x＜1で上に凸、1＜xで下に凸。
f"(-1)=0だからx=-1は変曲点であり、1＜xで下に凸
だからf'(2)=0よりf(x)はx=2で最小(極小)となる。
よってf(x)≧kはf(2)=2*(2)^4-12*(2)^2-16*2=-48≧kで
成り立つから、k=-48・・・答

回答No.1

spring135

（１）
sinθ＋cosθ＝１/2 (1)

のときtanθ-1/tanθの値を求めよ。

(1)の両辺を２乗して

1+2sinθcosθ=1+sin2θ=1/4

sin2θ=-3/4

cos2θ=±√(1-9/16)=±√7/4

tan2θ=∓3/√7

tanθ-1/tanθ＝sinθ/cosθ-cosθ/sinθ=(sin^2θ-cos^2θ)/cosθsinθ=-cos2θ/2sin2θ

=-1/2tan2θ=±√7/6

（２）関数

ｙ＝2ｘ＾3-12ｘ-16 (1)

のグラフ上の点（ｘ、ｙ）が常に不等式

ｘｙ≧ｋ (2)

を満たすように実数ｋの値を求めよ。

z=xy=2ｘ＾4-12ｘ^2-16x≧ｋ

が常に成り立つためのkを求めれば良い。したがってkはzの最小値以下であればよい。

dz/dx=8x^3-24x-16=8(x^3-2x-1)=8(x+1)^2(x-2)

lim(x→±∞)ｚ=∞, ｚはx=-1で変曲点となるが極値にはならない。x=2で極小で最小、最小値＝-48

増減表を作り、zのグラフの外形を書くことが望ましい。

ｋ＝-48