パラメータ消去について

質問

tがすべての実数値をとって変化するとき、Ｐ(2t-1,(4^2)-1)の軌跡を求めよ

というものについて、Ｐの座標を(X,Y)とおくと
X=2t-1 Y=(4^2)-1　と置けますよね、　そこでＸを式変形してt=に直し、Ｙの式に代入しパラメータ消去する　というのはよくやることで、何も考えずにやっていましたが。パラメータtが消去されちゃうってことはどういうことなんでしょうか・・・？

tによってx,yが定まるのにｔを消しちゃっていいのか？　tがなくなったということはtによらない関数だということか？　けどパラメータというのは、tの値によって、x,yが変動するものだから、tは必要だ。あくまでもその軌跡がもとめられただけだ・・・　などと考えてましたが・・・。

☆つまり何がいいたいかというと、X= ～t　,Y= ～t とパラメータ表示されているものの軌跡の取りかたは、本質的な意味では、t=1,2,3・・・　などと点を細かくとっていき、それでできる方程式が軌跡である。ということだと思うのですが、t=～Xの式に直し、パラメータを消去しちゃったら、tにすべての値を代入した時のグラフ（軌跡）がいっきに求まってしまうとは・・・　なぜなんだろう・・・？と疑問に思いました。

☆あと別の問題ですが、軌跡を求める問題で、軌跡の方程式が、(X^2)+(Y^2)+4X=0とまで変形できたときに円だ、とピンとくるべきですよね。x^2 y^2 が含まれていたら円だ！と思っていいでしょうか？
楕円とか、双曲線ってのも問題によってはあるんでしょうか・・・？

ちなみに高３です・・・　よろしくお願いします

回答No.3

N64 · ベストアンサー

tを消去したから、ｘ、ｙがｔと無関係になったというわけではありません。ｔを消去した結果得られた式は、ｔを－∞から∞に変化させたとき、点Ｐが通ったあと、すなわち軌跡を現しているにすぎません。

回答No.4

connykelly

パラメータは別名媒介変数と呼ばれていますね。つまり変数ｔは変数XとYを結びつける媒介者（？）ということで、媒介者が消えればXとYと直接結びつくことになります。参考URLも見てください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B0%E8%A1%A8%E7%A4%BA

回答No.2

whitedingo

重要なのはＰの軌跡を求めようとしていることです。ｔに関するグラフを考えろということではありません。あくまでも、Ｐが（２ｔ－１、４＾２－１）
であらわされているだけです。ｔがどのように動こうとも、関係ないですよね。関係あるものはその結果の２ｔ－１です。
などと考えてみたらどうでしょうか。
あと、ＮＯ１さんの言うとおり
＞今の表記だとＰのｙ座標は単なる定数１５ですけれど、いいんですか？
に同感です。

お礼

ごめんなさい！
(4t^2)-1　でした・・・。
tのグラフを考えろってことではないですよね。
けど、軌跡のグラフをかくのは、普通、t=1,2,3,4・・・と代入していって、点をとっていって、その点の集合が軌跡なわけですよね。
けど、パラメータ消去すると、一気にすべての実数tを代入したときの軌跡がもとまるのはすごいなぁ・・・　と思ったのですが。

回答No.1

suzukikun

今の表記だとＰのｙ座標は単なる定数１５ですけれど、いいんですか？
元々無いのだから消えると言うことではなく、そういう問題なのかと思いますが。

お礼

ごめんなさい！
(4t^2)-1　でした・・・。