この方程式の解法を教えてください

質問

この方程式の解法を教えてください
「aは実数の定数とし，
x＾4-ax＾3+(a+7)x＾2-ax+1=0・・・・(1)
t=x+1/x・・・・(2)とする
方程式(1)が２重解を持つとき，aの値を全て求めなさい．」
という問題がわかりません．

x≠0であることに注意して，(1)の式を変形して(2)を代入すると
t＾2-at+a+5=0・・・・(3)
また(2)の式を変形させるとx＾2-tx+1=0・・・・(4)
僕は(1)の式が２重解をもつのは(4)の判別式が0になるときなので
t=±2を(3)に代入してa=9,-3だと思いました．
しかし，答えにはさらに2±2√6（(3)が重解を持つとき）とありました．
(1)が重解を持つときなぜ(3)も重解を持つのですか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1) が 4 つの異なる解を持つとき
何が起こっていたかを、反省してみましょう。
(3) が 2 つの異なる解を持ち、
それぞれの t について、
(4) が 2 つの異なる解を持っていたはずです。

(4) が重解を持てば、
一方の t に関する x が(1) の重解となり、

(3) が重解を持てば、
共通の t に関する 2 個の x が
両方とも重解になるのです。

お礼

ありがとうございます．
なるほど！(3)におけるtの解１つずつについて，(4)の式でxが導かれる．
なので(3)においてtが重解をもつと，(4)の式のxは2つずつあることになっているのですね．
気づきませんでいた．
これからもよろしくお願いします．