微分方程式の解法

質問

直方体に関する熱伝導方程式を解こうとして，微分方程式に出くわし，行き詰ってしまいました．

直方体の温度分布を T (x) とします．直方体の長さを L として，片方の端の温度を T (0), もう片方の端の温度を T (L) とします．

また熱伝導率が温度の関数で
　　　κ (T) = 1 / (a + b T + c T^2)
と近似的に表現されます．

フーリエの法則に基づいて，定常状態における熱伝導方程式を解いてみたところ

　　　∂{ κ・∂T/∂x } / ∂x = 0

という式が出てきました．この方程式を一回積分すると

　　　κ (T)・(∂T /∂x) = A = (定数)

なる式となります．この微分方程式の解き方が分かりません．というより，解析的に解ける式なのかどうかすら判断できず困っています．この方程式は解けるでしょうか？

また，仮に解析的に解けないとして，問題となっている微分方程式の両辺をひっくり返して

　　　∂x / ∂T = κ (T) / A

と変形することは可能でしょうか？　この変形が可能ならば，κ (T) をマクローリン展開してからラプラス変換に持ち込もうかと考えているのですが…．

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

定常状態の温度分布であれば、Ｔはxだけの関数なので、∂T /∂xは、普通の微分になります。
というわけで、
κ (T)・(∂T /∂x) = A = (定数)
は、見慣れた変数分離系の常微分方程式です。
両辺xで積分すれば、普通に解けるかと。

お礼

変数分離系について勉強しなおして，解き方が分かりました．ありがとうございました．

補足

κ (T) が T の変数なのですが，その T がさらに x の変数で，困っています．どうしたものでしょうか？