• 締切済み

偏微分方程式 陽解法について

温度伝導率a=1、刻み幅Δx=0.5、Δt=0.05とした時の温度変化を求めよ。 ここで境界条件T(0、t)=0、T(1、t)=1、初期条件T(x、0)=0とする。 差分式を整理して Ti,n+1 =Ti,n + 1/5(Ti+1,n ー 2Ti,n + Ti-1,n) となりました。このあとどうすればいいかわかりません、、、T1,0やT2,0はどうすれば求まるのでしょうか。教えて欲しいです。

みんなの回答

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

Ti,n+1 =Ti,n + 1/5(Ti+1,n ー 2Ti,n + Ti-1,n)   (1) は時間(n+1)Δtにおける点iΔxの温度は右辺、つまり時間nΔtにおける点(i+1)Δx,iΔx,(i-1)Δx の温度によって決まるということを言っています。 したがってn=0、つまり初期条件から初めて時間をΔtづつ進めるのが大筋の計算の流れになります。 各時間ステップにおいて、境界を除く各点における値を(1)によって緩和していくことになります。 1)n=0 Ti,0=0 (i=0,I) (I=1/Δt=20) : 初期条件より 2)n=1:ここで右端(x=1)だけが温度が跳ね上がって1になります。(T(1、t)=1)よって T20,1=1 , T0,1=0(境界条件) Ti,1 =Ti,0 + 1/5(Ti+1,0 ー 2Ti,0 + Ti-1,0) (i=19,1) 3)n=2 T20,2=1 , T0,2=0(境界条件) Ti,2 =Ti,1 + 1/5(Ti+1,1 ー 2Ti,1 + Ti-1,1) (i=19,1) 以下同じ もともと T(1,0)において、境界条件T(1、t)=1と、初期条件T(x、0)=0とは矛盾しているわけです。これは 時間のカウントが始まった時点(|t-0|<ε)においてx=1の温度が1に跳ね上がったと考えます。 差分近似的にはこれは時間Δtにおける現象と考えます。 以後、x=1においてはT20,t=1が保たれて、これが熱伝導によりじわじわと左方向に伝わって行って、 最終的に直線的な分布になるプロセスをsimulateすることになります。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 熱伝導方程式 陽解法差分近似について

    温度伝導率a=1、刻み幅Δx=0.5、Δt=0.05とした時の温度変化を求めよ。 ここで境界条件T(0、t)=0、T(1、t)=1、初期条件T(x、0)=0とする。 差分式を整理して Ti,n+1 =Ti,n + 1/5(Ti+1,n ー 2Ti,n + Ti-1,n) となりました。このあとどうすればいいかわかりません、、、T1,0やT2,0はどうすれば求まるのでしょうか。教えて欲しいです。

  • 微分方程式の解法

    直方体に関する熱伝導方程式を解こうとして,微分方程式に出くわし,行き詰ってしまいました. 直方体の温度分布を T (x) とします.直方体の長さを L として,片方の端の温度を T (0), もう片方の端の温度を T (L) とします. また熱伝導率が温度の関数で    κ (T) = 1 / (a + b T + c T^2) と近似的に表現されます. フーリエの法則に基づいて,定常状態における熱伝導方程式を解いてみたところ    ∂{ κ・∂T/∂x } / ∂x = 0 という式が出てきました.この方程式を一回積分すると    κ (T)・(∂T /∂x) = A = (定数) なる式となります.この微分方程式の解き方が分かりません.というより,解析的に解ける式なのかどうかすら判断できず困っています.この方程式は解けるでしょうか? また,仮に解析的に解けないとして,問題となっている微分方程式の両辺をひっくり返して    ∂x / ∂T = κ (T) / A と変形することは可能でしょうか? この変形が可能ならば,κ (T) をマクローリン展開してからラプラス変換に持ち込もうかと考えているのですが….

  • 偏微分方程式の問題です。

    ・問題 u=u(t,x) u_t=ku_{xx} k>0 (0<x<1,t>0) 初期条件 u(0,x) sin(πx)+1/2sin(3πx) 境界条件 u(t,0)=u(t,1)=0 ・答え 境界条件より正弦級数展開をする. (☆)u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(t)sin(nπx) (★)b_n(t)=2∫_0^1u(t,x)sin(nπx)dx すると, u_t=Σ_{n=1}^∞{db_n(t)/dt}sin(nπx) ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2 =Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx) u_t=ku_{xx}より db_n(t)/dt=b_n(t)k(-nπ)^2=-n^2π^2kb_n(t) ∴b_n(t)=b_n(0)e^{-n^2π^2kt} ☆に代入して (☆☆)u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)e^{-n^2π^2kt}sin(nπx) ∴u(0,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)sin(nπx) これと初期条件u(0,x)=sin(πx)+(1/2)sin(3πx)を係数比較して b_1(0)=1,b_3(0)=1/2,b_n(0)=0(n≠1,3) ☆☆に代入して ∴u(t,x)=e^{-π^2kt}sin(πx)+(1/2)e^{-9π^2kt}sin(3πx)(答) ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 以前、上記の問題をここで質問し、解答を頂いたのですが、この部分の途中式がどうしてもわかりません。 ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2 =Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx) お手数ですが宜しくお願い致します!

  • 熱伝導方程式および初期条件について

    温度実験の物理モデルをたててシミュレーションを行おうと試みたのですが上手くいかず分からなかったので投稿させていただきました.少しでも何かお分かりになる方がいましたら,ぜひよろしくお願いします. 実験内容: 温度が室温に保たれたアルミ棒(10cm)の右端をt=0において-5℃に引き下げ,以後その温度で維持した場合の,左端の温度変化について熱伝導方程式で物理モデルを表したいと思います.なお,左端には外乱は一切加えないものとし,一次元で考えます. 時間をt(s),温度をθ,温度棒の一次元座標をxとすると, 初期条件 θ(t,0)= 0  境界条件θ=(0,x)=-5 と考えたのですが 自分の解法では ∂θ/∂t=a^2*(∂^2)θ/∂(x^2)について θ(t,x)= f(x)g(t)とし {1/(a^2)*g(t)}*{∂g(t)/∂t}=λ {1/f(x)}*{(∂^2)f(x)/(∂x^2)}=λ と変数分離を行ったのですが λの正・零・負の判定を行おうとしたところ初期条件が足らず出来ませんでした. この方法ではすでに間違っているのかもしれませんが, どなたか,初期条件・境界条件の指摘やこの実験の物理モデルがたてられる方がいらっしゃいましたら,厚かましいようですがよろしくお願いします.

  • 1次熱伝導方程式を差分法で解くという問題をC言語で書こうと言う問題を友

    1次熱伝導方程式を差分法で解くという問題をC言語で書こうと言う問題を友達からまる投げされたのですが、解き方が全く分かりませんん;; というのも差分法などの本を見てもよくわからない記号ばかりで。。。。 1次熱伝導方程式においで(∂u/∂t = κ(∂^2u/∂x^2)) 初期条件として u(x,0)=30 K=0.08 ?tは指定されていませんでした(解くに何でも可っぽいです) 境界条件として ux(L,t)=60℃ Lは1 u(0,t)=700℃ でも文章をよんでると有限の場合 棒の両端の温度が0に保たれているとき u(0,t)=u(L,t)=0 棒の両端が断熱されているとき ux(0,t)=ux(L,t)=0 今回の境界条件の場合はどうといていったらいいのか迷子になっているのですがどうかご教授してもらえたらありがたいです。

  • 1次元熱伝導方程式を差分法で解く

    長さL、断面積Aの棒で、 初期温度0度、一端は0度固定でもう一端に熱量Qを与えます。 この時の熱伝導方程式を差分法で解くプログラムを作りたいです。(c言語またはmathematica) 初期条件 t=0のとき温度T=0 と差分法の式(陽解法)はわかったのですが、 熱量Qが与えられたときの境界条件が分からずに困っています。 画像はシミュレーションソフトの結果で、熱量Qを与えた面の温度変化です。 ある時刻で定常状態になることがわかりました。 プログラムの計算結果も同じようになるはずなのですが、どうしたらそうなるのか分からない状態です。 どのようなプログラムを組めばよいでしょうか? プログラムと熱伝導については初心者ですので勉強不足な点も多々あると思いますが、しっかり理解したいと思っております。 教えていただけたら幸いです。よろしくお願いいたします。

  • Σを含む連立方程式の解法

    Σを含む連立方程式の解法がわからなくて困っています。 例えば X=Σ(Ax^n+Bx^-n)*con(nθ) とします。nは1~∞です。 この式を二つの境界条件に代入してXに含まれる定数AとBを導こうとしています。nは下のような境界条件により決定するものです。 例えば x=a X'+X=0     x=b X=cosθ のような感じです。(具体的には違いますが今回は簡単のため) しかし、nが増加するのに伴って未知の定数が無限に増えてしまって答えが得られないのでは?と思います。 こうゆう場合はどのような考え方で解くのですか? どなたか教えてください。

  • 偏微分方程式

    ∂y(x,t)/∂t = α ∂^2y(x,t)/∂x^2 ただし、0≦t, 0≦x≦p, αは正の定数 を、以下の条件のもとで解け。 初期条件 t=0; y=A 境界条件 x=0; y=B      x=p; y=C ただし、A,B,Cは正の定数である。 この問題がわかりません。 y = η(x,t) + B + (C-B)/p x とおくと、ηについての境界条件がどちらもy=0になるので、 η=X(x)T(t)とおいて変数分離形で解いてみましたが、 途中にフーリエ級数もどきがでてきてしまい、 うまく解けません。 どなたか教えていただけないでしょうか。

  • 集中容量法の微分方程式の解法

    集中容量法の微分方程式の解法 伝熱解析に関する質問です。 物体内部の熱伝導が大きく、外部雰囲気への伝熱の熱抵抗が支配的な時、 内部が均一な温度分布とおけますが、 その時には集中容量法という手法で非定常熱伝導現象が記述できます。 或る書籍を読んでいて次のような話題がありました。 物体の内部に発熱がある時の集中容量法の微分方程式から、時間と温度の関係を解く、 と言うものです。 -ρcV・dT/dt+wV=hS(T-T∞) ここでρ=密度、c=比熱、V=体積、w=単位体積単位時間の発熱量、 h=熱伝達係数、S=面積、T=温度、T∞=雰囲気温度 これで、t=0の時、T=T0として微分方程式を解くと、 T=T∞-(T∞-T0)exp(-hS/ρcV・t)+(wV/hS)・(1-exp(-hS/ρcV・t)) と温度の時間変化の関係式が得られるとありましたが、 お恥ずかしい話ですが、その解法が分からないのです。 発熱wが無い時は容易に微分方程式を解き、関係式を導くことができたのですが、 上記の例では、分数の置換積分など試してみましたが、積分解法に不慣れなもので、 上手く解くことができません。 この解はt=0の時、T=T0として、 初期温度が雰囲気温度と異なる条件で解いていますので、 一つの一般解のようなものかと思います。 しかし、初期温度が雰囲気温度と同じT∞であり、内部の発熱で温度が上がる時、 この式では解の第2項が常にゼロなので何かおかしいような気もしてしまいます。 積分の初期条件の取り方で、関係式が変わるにしても、 すこし腑に落ちないような、なにか釈然としない。 積分解法に、あるいは伝熱現象の理解にたいして、 自信のおありの方がいらっしゃれば、知恵を拝借したい次第です。 どうぞご教授くださいませ。 宜しくお願いします。

  • 微分方程式

    -dN=λNdt の微分方程式を初期条件N=N0として解くと N=N0e^-λt となるそうですが、途中式が分かりません。 詳しい途中式を教えてください。 よろしくお願いします。