偏微分方程式

質問

∂y(x,t)/∂t = α ∂^2y(x,t)/∂x^2
ただし、0≦t, 0≦x≦p, αは正の定数
を、以下の条件のもとで解け。

初期条件 t=0; y=A
境界条件 x=0; y=B
　　　　 x=p; y=C
ただし、A,B,Cは正の定数である。

この問題がわかりません。
y = η(x,t) + B + (C-B)/p x
とおくと、ηについての境界条件がどちらもy=0になるので、
η=X(x)T(t)とおいて変数分離形で解いてみましたが、
途中にフーリエ級数もどきがでてきてしまい、
うまく解けません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

解き方の流れはいいですね．
僕もよく分かっていませんが，この原因は
y = η(x,t) + B + (C-B)/p x
の仮定が間違っているのではないでしょうか？
＞ここで詰まってしまいました。
＞フーリエ正弦級数を使えばいいのかとも思ったのですが、
＞右辺は奇関数ではありません。
左辺は奇関数なのに，右辺は奇関数ではないというのは矛盾ですね．もし，強引に奇関数にするのだとしたら，A=Bということを追加すればいいですが，この問題はA，B，Cと敢えて異なる文字を使っているので，そういうことは意図されていませんね．

y = η(x,t) + B + (C-B)/p x
と置くと確かにη(x,t)についての境界条件が簡単になりいいのですが，実際，
解がこの形にはなり得ないのでは．
y=η(x,t)=X(x)T(t)
の仮定でやってみてはどうでしょうか？

お礼

なるほど、最初の仮定がまずかったのですね。
ご指摘、ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.1

Rossana

＞η=X(x)T(t)とおいて変数分離形で解いてみましたが、
＞途中にフーリエ級数もどきがでてきてしまい、
放物線形なのでこれは拡散方程式ですね．
具体的にどういうふうに詰まってしまったのですか？
もう少し具体的に教えて下さい．
変数分離法で解くと，第n調波の解が出てくると思うので，それを重ね合わせの原理よりΣで足し合わせればいいのですが．

補足

ご回答ありがとうございます。
具体的には、ηはyと同じ方程式を満たすので、
T'/T = α X"/X = -μ^2　(μ>0)
と置きます。(式の値を正または０とおくと不適なので)

α X"/X = -μ^2　より、
X = C1 cosμ√αx + C2 sinμ√αx
となり、境界条件より、C1=0となり、
さらにμ(n)=nπ/p√α
これより、
Xn=C(n)sin(nπx/p)　　となります。

同様にTについてもμ(n)を代入して解くと
Tn=D(n)exp(-μ^2 t)
となります。よって、
ηn=C(n)D(n) sin(nπx/p) exp(-μ^2 t)
です。おそらくこれがRossanaさんのおっしゃる第n調波の解なのだと思います。
これをΣでn=0～∞まで足し合わせ、
係数C(n)D(n)を求めるために初期条件t=0を代入します。
t=0; η=A-B-(C-B)x/p
ですので、
ΣC(n)D(n) sin(nπx/p) = A-B-(C-B)x/p
となります。

ここで詰まってしまいました。
フーリエ正弦級数を使えばいいのかとも思ったのですが、
右辺は奇関数ではありません。
これ以降どのようにしたらよいのでしょう？
長くなってしまいましたが、よろしくお願いします。