微分方程式

質問

ｘｙ'＝ｙ＋√(ｘ^2＋ｙ^2)という微分方程式を誰か解いてください。
たぶん変数分離形で解くと思うのですがどうしても答えと合わないんですよ。誰かお願いします。
ちなみに回答は
ｙ＝(Ｃ^2*ｘ^2－1)/2Ｃ　　(Ｃ：積分定数)
です。

回答No.1

i536 · ベストアンサー

与式の両辺をｘで割ると下式(1)が得られます。

ｙ'＝(ｙ/x)＋√(1＋(ｙ/x)^2)---(1)

ここで、z=ｙ/xとおくと、ｙ＝ｘｚより、ｙ’を計算し代入すると式(2)が得られます。

ｚ＋ｘ・ｚ’＝ｚ＋√(1＋ｚ^2)

ｘ・ｚ’＝√(1＋ｚ^2)

ｚ’/(√(1＋ｚ^2))＝1/x---(2)

式(2)の両辺を積分し、積分定数をＡとすると式(3)が得られます。

log|z+√(1＋ｚ^2)|=logx + A.---(3)

式(3)からlogを外し、積分定数e^A=Cとおくと、式(4)(5)が得られます。

z+√(1＋ｚ^2)=Cx---(4)

√(1＋ｚ^2)=Cx-z.---(5)

(5)の両辺を２乗し、z=ｙ/xを戻すと、

1＋ｚ^2=C^2・x^2 -2Cxz +z^2

1=C^2・x^2 -2Cy.

∴ｙ＝（C^2・x^2－１）／(２C).

補足

すいません、左辺が(２)から(３)になるやり方が分からないんですけど・・・ 。
ｚ＝tantとおいて計算してみたんですけど、どうもその答えにならないんですよ。
これは置換積分するんですか？それとも部分積分をするのですか？少しでいいんでヒント下さい!!

回答No.2

mmky

[左辺が(２)から(３)になるやり方が分からないんですけど・・・ ]
これを回答者のi536さんに質問するのはちょっと・・んだよね。
だからmmkyさんから勉強の参考程度までに

ｚ’/(√(1＋ｚ^2))＝1/x---(2)
dz/dx/(√(1＋ｚ^2))＝1/x
dｚ/(√(1＋ｚ^2))=ｄx/x
∫dｚ/(√(1＋ｚ^2))=∫ｄx/x
∫dｚ/(√(1＋ｚ^2))=logx+A

前の項の積分はちょっとした置換をします。
√(1＋ｚ^2)=t-z
(1+z^2)=z^2-2zt+t^2
z=-(1-t^2)/2t
dz=dt{(2t)(2t)+2(1-t^2)}/4t^2=(1+t^2)/2t^2
√(1＋ｚ^2)=t-z=t+(1-t^2)/2t=(1+t^2)/2t
dｚ/(√(1＋ｚ^2))=dt{(1+t^2)/2t^2}/{(1+t^2)/2t}
=dt{2t/2t^2}=dt/t
∫dt/t＝logt
t=|z+√(1＋ｚ^2)|
だから
log|z+√(1＋ｚ^2)|=logx + A---(3)
になりますね。
参考程度まで

お礼

ありがとうございます、よく分かりました。積分は何をどう置換していいのか分からないから難しいですね。