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微分方程式

xy'=y+√(x^2+y^2)という微分方程式を誰か解いてください。 たぶん変数分離形で解くと思うのですがどうしても答えと合わないんですよ。誰かお願いします。 ちなみに回答は y=(C^2*x^2-1)/2C  (C:積分定数) です。

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  • i536
  • ベストアンサー率32% (75/231)

与式の両辺をxで割ると下式(1)が得られます。 y'=(y/x)+√(1+(y/x)^2)---(1) ここで、z=y/xとおくと、y=xzより、y’を計算し代入すると式(2)が得られます。 z+x・z’=z+√(1+z^2) x・z’=√(1+z^2) z’/(√(1+z^2))=1/x---(2) 式(2)の両辺を積分し、積分定数をAとすると式(3)が得られます。 log|z+√(1+z^2)|=logx + A.---(3) 式(3)からlogを外し、積分定数e^A=Cとおくと、式(4)(5)が得られます。 z+√(1+z^2)=Cx---(4) √(1+z^2)=Cx-z.---(5) (5)の両辺を2乗し、z=y/xを戻すと、 1+z^2=C^2・x^2 -2Cxz +z^2 1=C^2・x^2 -2Cy. ∴y=(C^2・x^2-1)/(2C).

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質問者からの補足

すいません、左辺が(2)から(3)になるやり方が分からないんですけど・・・ 。 z=tantとおいて計算してみたんですけど、どうもその答えにならないんですよ。 これは置換積分するんですか?それとも部分積分をするのですか?少しでいいんでヒント下さい!!

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  • 回答No.2
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2419)

[左辺が(2)から(3)になるやり方が分からないんですけど・・・ ] これを回答者のi536さんに質問するのはちょっと・・んだよね。 だからmmkyさんから勉強の参考程度までに z’/(√(1+z^2))=1/x---(2) dz/dx/(√(1+z^2))=1/x dz/(√(1+z^2))=dx/x ∫dz/(√(1+z^2))=∫dx/x ∫dz/(√(1+z^2))=logx+A 前の項の積分はちょっとした置換をします。 √(1+z^2)=t-z (1+z^2)=z^2-2zt+t^2 z=-(1-t^2)/2t dz=dt{(2t)(2t)+2(1-t^2)}/4t^2=(1+t^2)/2t^2 √(1+z^2)=t-z=t+(1-t^2)/2t=(1+t^2)/2t dz/(√(1+z^2))=dt{(1+t^2)/2t^2}/{(1+t^2)/2t} =dt{2t/2t^2}=dt/t ∫dt/t=logt t=|z+√(1+z^2)| だから log|z+√(1+z^2)|=logx + A---(3) になりますね。 参考程度まで

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質問者からのお礼

ありがとうございます、よく分かりました。積分は何をどう置換していいのか分からないから難しいですね。

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