ベストアンサー 微分方程式の問題です 2011/07/29 21:39 微分方程式の問題です (x^2-3y^2)x+(3x^2-y^2)ydy/dx=0 という問題です y=xuとおいて変数分離して解いていくと、uについての積分ができませんでした。 詳しい解答お願いします。 みんなの回答 (2) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2011/07/30 22:28 回答No.2 有理式の積分には「お約束なやりかた」があるよね. それに従えば積分はできる. 結果があってるかどうかは知らんが. 質問者 お礼 2011/08/01 20:20 お約束って部分分数分解ですよね? やってみます! 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (1) Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2011/07/29 23:14 回答No.1 とりあえず, u についての微分方程式がどうなったか, 途中式も含めて書いてもらえますか? 質問者 お礼 2011/07/30 15:05 お願いします 質問者 補足 2011/07/30 15:05 dy/dx={(-x^2+3y^2)x}/{(3x^2-y^2)y} y=xuとおいて xu'={(3u^2-1)/(3u-u^3)}-{(3u^2-u^4)/(3u-u^3)} =(u^4-1)/(3u-u^3) (3u-u^3)du/(u^4-1)=dx/x ここからが出来ませんでした よろしくお願いします 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 微分方程式の問題です 微分方程式についての質問です。 dy/dx=y(2x^3-y^3)/((x)(x^3-2y^3)) を解けという問題です。 y = xu と置いて変数分離したんですが、そこでつまずいてしまいました。 途中過程を含めて解答お願いします。 微分方程式の問題がわからなくて困っています 次の問題のやり方がわからなくて困っています。 次の微分方程式を解け。 式は、(x^2+4)ydy/dx=2x(y^2+1)で、y(0)=1です。 わかる方ぜひ解答お願いします。 微分方程式の問題 dy/dx=2xy+x^3y^2 解:1/y=1/2(1-x^2)+Ce^(-x^2) の問題なのですが、 ベルヌーイの方程式のやり方で解いていった後、 du/dx=-2xu-x^3 [u=1/y du/dx=-1/y^2(dy/dx)] になり、線形微分方程式で解いていくと、 u=e^(-∫2xdx)(∫e^(∫2xdx)(-x^3)+c) となり、∫e^(∫2xdx)(-x^3)を部分積分の形で計算していくと、 解と異なる答えがでてきてしまいます。 どこが間違っているのでしょうか。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた? OKWAVE コラム 微分方程式 積分方程式 について 微分方程式y'=x+1について、 解は、 dy/dx=x+1 変数分離を行って、 dy=(x+1)dx 両辺を積分すると、 ∫dy=∫(x+1)dx・・・(※) よって、 y=1/2x^2+x+C (※)の部分ですが、これは積分方程式と 言っていいのでしょうか? 積分方程式って、何なんでしょうか? Wikipediaを見たのですが、わかりませんでした・・・ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 微分方程式について。 微分方程式の一般解をもとめます。 (1)dy/dx=(y^2)+y これは、線形微分方程式を使ってとくのでしょうか?? (2)(x-y)y'=2y 同次形で解きましたが 途中の式、 ∫du(1-u)/(u+u^2)=∫1/xでの右辺の積分がわかりません。 両者の解答の導き方を教えてください。お願いします。 連立微分方程式 du/dx = xv dv/dx = -xu u(0)=0,v(0)=1 の連立微分方程式が与えられていて、P(u,v)の軌跡をuv平面上に描け。 という問題なのですが、どう解けばよいのでしょうか。 変数を1変数にすると、 d/dx ((1/x )*du/dx) = -xu になると思うんですが、これって解けましたっけ?解けるならそれまでなんですけど。。 よろしくお願いします。。 微分方程式について 次のような微分方程式があります d^2 x/dx^2 - (dy/dx)(4+x)/x +y*(6+2x)/x^2 =0 問題は以下です y=ux^2(uはxの関数)がこの微分方程式の解となるために uの満たすべき微分方程式を求めなさい。 要は u''=u'=u になればいいということじゃないのでしょうか ですがこれだと微分方程式になりません もしくはこれが解答でいいのでしょうか? ヒントのみでもいいので教えてください。 常微分方程式の問題 常微分方程式の問題でいくつか解けなかったところがあるので教えていただきたいです。 この章で扱っているのは 変数分離系・同時系・線形1階微分方程式・完全微分形・線形2階微分方程式(同次形)・線形2階微分方程式(非同次形) を扱っていました。 その内、一般解を求める以下の問題 (1)dy/dx=xe^-y (2)x(dy/dx)-y=1 (3)(2y-x^2)dx+(2x-y^2)dy=0 と 与えられた条件をそれぞれ満たす微分方程式の解を求める以下の問題 (1)dy/dx=y/x (x=1のときY-2) (5)y''+5y'+6y=0 (x=0のときy=0、y'=1) の問題が解くことができませんでした。 どなたか解法をわかりやすく教えていただけないでしょうか? 微分方程式の解き方が分からず、困っています。 現在、試験に向けて微分方程式の勉強をしているのですが、下記の問題の解き方が分かりません。 教科書を参考に(1)は変数分離系、(2)は同次形、(3)は線形で解こうとしましたが、どの問題も積分するところで複雑な式になってしまい、解けれません。 分かる問題だけでも良いのでアドバイス、解き方を教えてください。よろしくお願いします。 (1)次の微分方程式の一般解を求めよ dy/dx=y^2+1 (2)次の微分方程式の一般解を求めよ y'=(y/x)(log(y/x)+1) (3)次の微分方程式の解でt=0のときx=1の条件を満たすものを求めよ x'cost+xsint=1 微分方程式 次の同時形微分方程式の一般解をもとめなさい。 dy/dx=(2x-y)/(x+y) 途中のxu'=(2-2u-u^2)/(1+u)まできたのですが そのあとが混乱してしまします。 どなたそのあとの導き方かお願いしますm(__)m ある微分方程式の問題について 以下の微分方程式の問題について不明点があります。 与式:y' = 1-y^2 の一般解ですが、私が解いたところ {1/(1-y^2)}y' = 1 〔変数分離〕 ∫{1/(1-y^2)}dy = ∫1dx 〔両辺をxで積分〕 (1/2)∫{1/(1+y) + 1/(1-y)}dy = ∫1dx 〔左辺を部分分数分解〕 (1/2){ln|1+y| + ln|1-y|} + c1 = x + c2 〔積分実行〕 ln|1-y^2| = 2x + c3 〔整理する〕 1-y^2 = c*e^(2x) 〔yでまとめる〕 y^2 = c*e^(2x)+1 〔一般解〕 となりました。しかし、解答を見てみると y = {(1+c*e^(-2x))/(1-c*e^(-2x))} となっていて私が出した答えとかなり違っています。 私の解答のどこが間違いが自分ではわかりせん。 間違っている点をご指摘できる方がいらっしゃいましたら是非お願いしたいと思います。 微分方程式 微分方程式 微分方程式の問題がわかりません ・(1+x)y+(1+y)xy'=0 (y'はyのx微分) ・y'cosx siny = sinx cosy (サインとコサインの掛け算です) どちらも変数分離型ということはわかるのですが… さいごまで解けません… あと1/xを積分するときに絶対値をつけるべきなのかどうかよくわかりません どちらか片方でもいいのでわかったら教えてほしいです 日本史の転換点?:赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 同次形微分方程式 下の“微分方程式を解け”という問題がわかりません。 (1) (x+y)+(x-y)(dy/dx)=0 (2) xy(dy/dx)=x^2+y^2 この2つなんですが、一応、同次形微分方程式の範囲なので y/xの形にしてみたんですが・・・ (1) (x-y)(dy/dx)=-(x+y) (dy/dx)=-(x+y)/(x-y) 右辺の分母分子をxで割る (dy/dx)=-(1+y/x)/(1-y/x) y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx) よって u+x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) -u x(du/dx)=-(1+u^2)/(1-u) (1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx 両辺を積分というとこの左辺のせきぶんがわかりません。 というかここまでまちがってるかもしれません。 (2) (dy/dx)xy=x^2+y^2 両辺をx^2でわる。 (dy/dx)(y/x)=1+(y/x)^2 y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)よって u+x(du/dx)=(1+u^2)/u x(du/dx)=(1+u^2)/u -u x(du/dx)=(1/u) udu=(1/x)dx 両辺を積分 (1/2)u^2=logx+C よって(1/2)(y/x)^2=logx+C y^2=2x^2(logx+C) となり、とりあえず答えは合いました。過程はあってますか? あと、最終的な答えの形なんですがy=で答えるとかx=で答えるとか ってありますか? 連立微分方程式 点P(x,y)は連立微分方程式 dx/dt=y dy/dt=-x を満たすものとする。t=0で原点以外の点から出発した点P(x,y)は、tが増加するにつれてどのようにふるまうか述べよ。図を用いてもよい。 この問題の解き方がよく分かりません。 連立微分方程式について、色々な文献を見てみたのですが、どうもいまいちです。 上の連立方程式を2つともdt=のかたちにして、dx/y=dy/-xという式にし、変数を分離して両辺を積分して・・・すると、x^2+y^2=Cという式に なりました。 円の方程式っぽいです。 でも、tは消えてしまい・・・ よく分からなくなってきました。 そもそもここまでの解き方も自分は間違っているのでしょうか?? ご意見やヒント、解答ヨロシクお願いしますm(_ _)m 偏微分方程式の問題 偏微分方程式の問題 φ(x,y)に関する偏微分方程式∂^2φ/∂x^2=-∂φ/∂yについてφ(x,y)=X(x)Y(y)と解を変数分離して解け。ただしY'(x)/Y(y)>0とする。 この問題教えて下さい。お願いします 微分方程式で一階問題なのですが・・・。 微分方程式の問題なのですが、勉強不足の為よくわからないです・・・。 問題は 1) 初期値問題 xy'=y-xtan(y/x) y(1)=π/2 同次系だと思い、xで割った後、y/xをuとおきその結果 u'x=-tanuまで出たのですが、その後の計算がわかりません・・。 2) y'+(e^x)y=3e^x の時、lim(x→∞)y を求めよ。 これは、線形微分方程式だと思い、一般解の公式を使ったのですが、自然対数の積分がよくわからずに挫折しました・・・。 3) y'=(y-1)(xy-y-x)の一般解を求めよ。 これは、どの手法でとけばいいのかわからず解けませんでした・・・。変数分離系なのでしょうか?? 沢山質問してしまってすみません。どれかひとつだけでもいいので教えてください。よろしくお願いします。 微分方程式について こんにちは。 今、独学で微分方程式の勉強を行っているのですが、問題集に載っていた下記の問題の解き方が分からず困っています。 ・(2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解を求める 完全微分方程式ではないので、積分因子を求める必要があり、u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが、途中で、n-m=4x^2 3n-4ym=-6 という式が出てきてしまい、計算が出来ません。 ・(y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1 2変数の初期値問題はどのように解けば良いのでしょうか? 何度も解いてみたのですが、答えを求める事は出来ませんでした。 少しでもアドバイスを頂ければ幸いです。 2階微分方程式の問題について 下記の微分方程式についての質問です。 k * (d^2 y/dx^2) = a * y^2 …(1) ここで、k, a は定数、(d^2 y/dx^2)はyの2階微分(つまりy'')を表しています。また、* は積を表しています。 この2階微分方程式の一般解を求めたいのですが、詰まっています。 私のやり方は、まず(d^2 y/dx^2)=y'' として k * y'' = a * y^2 …(2) (2)の両辺に2y'をかけて k*y''*2y' = a * y^2 * 2y' これより ( k * (y')^2 )' = ( 2a* (y^3/3) )' 両辺を積分して k * (y')^2 = (2a/3) * y^3 + C1 …(3) (ただしC1は積分定数) このあと、変数分離すればとけるはずなのですが、 その先が詰まっています。 C1があるせいで積分できないのです。 これは一般解が求められないのでしょうか? また、初期条件は x=0でy=y0、x→∞でy=0 なので、x→∞でy'=0 と考えて、(3)よりC1=0 として考えると、 うまく変数分離できて y^(-3/2) dy = √(2a/3k) * dx ∴ y^(-1/2) = (-1/2) * √(2a/3k) *x + C2 (C2は積分定数) ∴ y = ((-1/2) * √(2a/3k) *x + C2)^(-2) …(4) 初期条件より C2 = y0^(-1/2) という感じで解いていったのですが、 どうやら解答は y = p * (x + q)^(-2) ただし、p = 6k/a, q = (a*y0/6k)^(-1/2) となるようです。。。 何度見直してもこうならないのですが、 私の計算ミスでしょうか。。。? (i) 式(3)の一般解 (ii) 式(4)が合っているか に関して、どなたか知恵をお貸しいただければ幸いです。 数式見づらくて恐縮です。 微分方程式 xy'=y+√(x^2+y^2)という微分方程式を誰か解いてください。 たぶん変数分離形で解くと思うのですがどうしても答えと合わないんですよ。誰かお願いします。 ちなみに回答は y=(C^2*x^2-1)/2C (C:積分定数) です。 微分方程式の一般解の求め方 (x + (x^2 + y^2)x^3)dx + ydy = 0 の一般解の解き方がわからなくて困ってます。一見して完全形になるのかと思ったのですが、d((x+・・・・)=0にはならないので完全形ではなく積分因子を導入しなければならないようなのです。積分因子をうまく求める方法はありますか?高等教育で数3を学んでおらず、微分方程式に関してほとんど独学でやってきてるので、できるだけ詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。 注目のQ&A 40代前半。自立していないと言われました 恋人が異性と2人で出かける場合、どこまで許す? 注意された時 恋人について わざわざ隣に座る男性 弱者男性が心を保ち続けるための生き方について パソコンの買換え だし巻きたまご 定電流源 教えて下さい カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム マッチングアプリは顔写真が重要!容姿に自信がなくても出会いを見つけるには 美容男子ミドル世代の悩み解決?休日ファッション・爪・目元ケア プラモデル塗装のコツとは?初心者向けガイド 突然のトラブル?プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す!格安SIMと端末選びのポイントは? あなたにピッタリな商品が見つかる! OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
お約束って部分分数分解ですよね? やってみます!