偏微分方程式の解き方を教えていただけないでしょうか

質問

偏微分方程式の解き方を教えていただけないでしょうか。

u_t (ｔの一階微分） = u_xx (ｘの二階微分）
x∈[0,1]のとき、
境界条件
u_x(0,t)=0 、u(1,t)＝5t
（↑ｘの一階微分）

初期条件が、
u(x,0)=0

自分で
_____________________
du/dt = d^u/dx^2
x∈[0,1]

du/dx(0,t)=0 、u(1,t)＝5t
u(x,0)=0

のとき、変数を分離して、
u=(X,Y)

X''=-λXとしました。
X＝c1 cos(√(λ) x) +c2 sin(√(λ) x) として、
X’＝√(λ) ＊（ーc1 sin(√(λ) x) +c2 cos(√(λ) x) ）
境界条件をいれると、
X’(0)＝√(λ) ＊（ーc1 sin(√(λ) 0) +c2 cos(√(λ) 0) ）
より ｃ２＝０

X（１）＝c1 cos(√(λ)*１) +c2 sin(√(λ)*１) =5t
c1*cos(√(λ)*１) =5t
____________________________
と計算をしてみたのですが、５ｔの扱い方がわからず、躓いてしまいました。

どのように計算をすればよいか、教えていただけないでしょうか。

回答No.1

muturajcp

u_xx=X"(x)Y(t)=u_t=X(x)Y'(t)
X"(x)Y(t)=X(x)Y'(t)

X"(x)/X(x)=Y'(t)/Y(t)=-λ

X"(x)/X(x)=-λ
Y'(t)/Y(t)=-λ

X(x)=c1cos(x√λ)+c2sin(x√λ)
Y(t)=c3e^(-λt)
として
X'(x)=(√λ){-c1sin(x√λ)+c2cos(x√λ)}

u_x(0,t)
=X'(0)Y(t)
=(√λ){-c1sin(0√λ)+c2cos(0√λ)}c3e^(-λt)
=(√λ)c2c3e^(-λt)
=0
より
c2=0

u(1,t)
=X(1)Y(t)
={c1cos(√λ)+c2sin(√λ)}c3e^(-λt)
=
c1c3cos(√λ)e^(-λt)=5t
∴
解無し