微分方程式の解について

質問

すべての点で微分可能な関数u(x)が次の条件を満たしている。
　　u(x)=u(-x)+2x …(1)　かつ　u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)=6x^2+2 …(2)
このとき、関数u(x)を求めよ。
という問題に次のように解答したのですが、答えに自信がありません。合っているのでしょうか。
[解答1]
(2)より
[{u(x)}^2]'+[{u(-x)}^2]'=12x^2+4
{u(x)}^2+{u(-x)}^2=4x^3+4x+C
(1)より、u(-x)=u(x)-2x、これを上の式に代入して
{u(x)}^2+{u(x)-2x}^2=4x^3+4x+C
2{u(x)}^2-4xu(x)-4x^3+4x^2-4x+D=0
{u(x)}^2-2xu(x)-2x^3+2x^2-2x+E=0
u(x)=x±√(2x^3-x^2+2x+E)
[解答2]
(1)より、u(-x)=u(x)-2x、これと(2)式より
u(du/dx)+(u-2x){(du/dx)-2}=6x^2+2
2(u-x)(du/dx)-2u+4x=6x^2+2
(u-x)(du/dx)-u+2x=3x^2+1
u-x=tとおくと
(du/dx)-1=(dt/dx)より、(du/dx)=1+(dt/dx)
t{1+(dt/dx)}-t=3x^2-x+1
t(dt/dx)=3x^2-x+1
tdt=(3x^2-x+1)dx
(1/2)t^2=x^3-(1/2)x^2+x+C
t^2=2x^3-x^2+2x+D
u-x=±√(2x^3-x^2+2x+D)
u(x)=x±√(2x^3-x^2+2x+D)

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

はい、解は間違っています。
解いた解は明らかに(1)の条件を満たさないうえに、そもそも微分方程式を解いた解は実数全域を定義域に持てないし、また微分可能でもないから。

で、どこがおかしいのだろうと、考えてみました
>【解答1】
　2*{u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)}
= [{u(x)}^2]'+[{u(-x)}^2]'
としているけれど、これは成立しない。
d(u(-x)*u(-x))/dx = -2u(-x)u'(-x)
つまり
　2*{u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)}
= [{u(x)}^2]'-[{u(-x)}^2]'
とならなければならない。

>【解答2】
u(-x) = u(x)-2x
du(-x)/dx = -u'(-x) = u'(x) - 2
だから、
　u'(-x) = 2 - u'(x)
なのに、あなたは「u'(-x) = u'(x) - 2」としています。

あとは、自分で解いてみてくださいね。

お礼

ありがとうございます。指摘されたところを直してもう一度解き直して見たところ解決しました。

回答No.1

asuncion

＞u(x)=u(-x)+2x …(1)　かつ　u(x)u'(x)+u(-x)u'(-x)=6x^2+2 …(2)

求めた解が上記の条件を満たしているかどうか、検算してみればいいのではないでしょうか。

補足

検算してみると、
u(x)-u(-x)
=(x+√(2x^3-x^2+2x+D))-(-x+√(-2x^3+x^2-2x+D))
=2x+√(2x^3-x^2+2x+D)-√(-2x^3+x^2-2x+D)
となってここから計算できないので、答えが間違っているように思えるのですが、正しい答えは何なのでしょうか。