集中容量法の微分方程式の解法

質問

集中容量法の微分方程式の解法

伝熱解析に関する質問です。

物体内部の熱伝導が大きく、外部雰囲気への伝熱の熱抵抗が支配的な時、
内部が均一な温度分布とおけますが、
その時には集中容量法という手法で非定常熱伝導現象が記述できます。

或る書籍を読んでいて次のような話題がありました。

物体の内部に発熱がある時の集中容量法の微分方程式から、時間と温度の関係を解く、
と言うものです。

-ρｃV・ｄT/ｄｔ＋ｗV＝ｈS（T-T∞）

ここでρ＝密度、ｃ＝比熱、V＝体積、ｗ＝単位体積単位時間の発熱量、
ｈ＝熱伝達係数、S＝面積、T＝温度、T∞＝雰囲気温度

これで、ｔ＝0の時、T＝T0として微分方程式を解くと、

T＝T∞－（T∞-T0）exp（-ｈS/ρcV・ｔ）＋（wV/ｈS)･(1-exp（-ｈS/ρｃV・t））

と温度の時間変化の関係式が得られるとありましたが、
お恥ずかしい話ですが、その解法が分からないのです。

発熱ｗが無い時は容易に微分方程式を解き、関係式を導くことができたのですが、
上記の例では、分数の置換積分など試してみましたが、積分解法に不慣れなもので、
上手く解くことができません。

この解はt=0の時、T=T0として、
初期温度が雰囲気温度と異なる条件で解いていますので、
一つの一般解のようなものかと思います。

しかし、初期温度が雰囲気温度と同じT∞であり、内部の発熱で温度が上がる時、
この式では解の第2項が常にゼロなので何かおかしいような気もしてしまいます。
積分の初期条件の取り方で、関係式が変わるにしても、
すこし腑に落ちないような、なにか釈然としない。

積分解法に、あるいは伝熱現象の理解にたいして、
自信のおありの方がいらっしゃれば、知恵を拝借したい次第です。

どうぞご教授くださいませ。

宜しくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

x=T-T∞-wV/hS
と置くと
T∞+wV/hS
は定数ゆえ
dT/dt=dx/dt
微分方程式を整理すると
-ρｃV・ｄx/ｄｔ＝ｈSx
変数分離して
積分すると
lnx=-hSt/ρｃV+C
x=Dexp(-hSt/ρｃV)
t=0のときT=T0を代入して
D=T0-T∞-wV/hS
QED

お礼

あきれるほど長い間置き去りになっておりました。
誠に誠に申し訳ありません。
PC不調で新調した折にアカウントを喪失しておりました。
なにとぞお許しくださいませ。

適切なご回答に感謝申し上げます。

本当にありがとうございました。
そして、申し訳ありませんでした。