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二階微分方程式
「最新熱測定」という書籍の2-1章に「周期加熱法概論」という章があります。 周期加熱法の測定原理として、 熱拡散率aをもつ物質で、x方向に温度変化がある場合には dT/dt=a(d^2T/dx^2) …(1) と書ける。物質夕のx=0において周期温度がT=Texp(iωt)で定常的に周期変化すると、(1)式の微分方程式は d^2T/dx^2=i(ω/a)T=((1+i)/(2^(1/2)))^2*((ω/a)^(1/2))^2 …(2) と書くことができる。(2)式の一般解の+方向へ伝わる周期温度の平面波は T=Toexp[i(ωt-kx)-kx] …(3) となる。ここに、kは次式で与えられる。 k=(ω/2a)^(1/2) …(4) というように記載されていますが、 (3)式の導出方法がわかりません。 また、(2)式の一般解がよくわかりません。 どなたかアドバイス頂きますようよろしくお願い致します。
- yasu0117
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元の式を ∂T/∂t=a・∂^2T/∂x^2 と表わします。 T=Θ(t)・X(x) とすると {1/Θ(t)}・∂Θ(t)/∂t=a・{1/X(x)}・∂^2X(x)/∂x^2 以後、Θ(t) を Θ、X(x) を X と書きます。 Θ=Θo・exp(iωt) より 上式の左辺は、iω 従って、(d^2X/dx^2)-(iω/a)・X=0 これの特性方程式は、 λ^2-(iω/a)=0 ∴ λ=±(iω/a)^(1/2) =±{(ω/a)・exp(π/2)}^(1/2) =±(ω/a)^(1/2)・{(1+i)/√2} 今、+方向へ伝わる平面波を考えるので λの下号を採用し、 T=Θ(t)・X(x) =Θo・exp(iωt)・exp[(ω/a)^(1/2)・{-(1+i)/√2}・x] =To・exp[iωt+(ω/a)^(1/2)・{-(1+i)/√2}・x] （最後の式で、Θo を To とおいています） この式は、k=(ω/2a)^(1/2) として、 T=To・exp[i(ωt-kx)-kx] と表わせます。
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昔、池原止戈夫著の「微分方程式」、寺沢寛一著の「数学概論」、マージナウ・マーフィ著の「物理と化学のための数学」等で学びましたが、今は、どういった教科書があるのでしょうか、残念ながら存じません。
お礼
ご返答有り難うございました。 現在、伝熱の勉強をはじめており、これからも質問するときがあると思いますが、今後もよろしくお願い致します。
- pascal3141
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T=Texp(iωt)のTがわかりにくいのでT=Hexp(iωt)とします。 x=0においてT=H(0)exp(iωt)で定常的に周期変化すると、xの場所も定常変化するので、T=H(x)exp(iωt)とできる。 d^2T/dx^2=(1/a)dT/dtの右辺へT=H(x)exp(iωt)を代入 d^2T/dx^2=i(ω/a)H(x)exp(iωt)=i(ω/a)T つまりx変化のみ取り出すと、d^2H/dx^2=i(ω/a)H H(x)=H(0)*exp(αx)とおくと α^2=i(ω/a)=((1+i)^2/2)*(ω/a)=(1+i)^2*ω/2a=((1+i)*(ω/2a)^(1/2)))^2=((1+i)*k))^2 よって α=±(1+i)*k H(x)=H(0)*exp(αx)=H(0)*exp(±kx±ikx)(以下複合同順） よって T=H(x)exp(iωt)=H(0)*exp(±kx±ikx)*exp(iωt)=H(0)*exp[i(ωt±kx)±kx] 一般にxの正方向に伝わる波は、f(x-βt)とかける。（時間tでf(x)がx正方向にβt平行移動するとf(x-βt)） よって T=H(0)*exp[i(ωt-kx)-kx] 以上でわかりますか？
お礼
早速ご回答いただき有り難うございました。 数学の知識に乏しいにもかかわらず、伝熱の勉強をはじめようとしています。これからもこの場で質問することがあると思いますが、宜しくお願いいたします。
- rabbit_cat
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(2)式の２つ目のイコールの右側が、何だかよくわかりませんが。 とりあえず、(1)の偏微分方程式（熱伝導方程式）を解きたいってことならば、 T = T1(x)T2(t) と、いう形の解を仮定して、(1)なり(2)なりに代入すれば解けると思います。（変数分離法）
お礼
ご回答有り難うございました。 (2)式にはTが抜けていました。すみません。 i(ω/a)T=((1+i)/(√2))^2*(√(ω/a))^2*T i=((1+i)/(√2))^2 (ω/a)=(√(ω/a))^2 に書き換えています。
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ご返答有り難うございました。
補足
ご回答有り難うございました。 非常に参考になります。あと一つ質問があります。 下から5行目～6行目において X(x) =exp[(ω/a)^(1/2)・{-(1+i)/√2}・x] となっておりますが、 特性方程式がλ^2-(a^2)=0の場合 X(x)=exp(±ax) となることは、どのような教科書に書いてますでしょうか？ おそらく非常に基本的なことだと思うのですが、 大学で数学を習ったことがなく解っていません。 参考となる教科書をお教えいただければ幸いです。