高校数学、軌跡

質問

（問題）
ｔは０≦ｔ≦１を満たす実数である。
ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)を満たす点P（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ。
（問題集の解説）
Pの軌跡をFとする。

Fを表す方程式を求めるとは次の（１）（２）を満たすｘ、ｙの式ｆ（ｘ、ｙ）＝０を求めることである。
（１）ｔが０≦ｔ≦１を満たすどのような値であっても(1)、(2)によって定まるｘ、ｙはｆ（ｘ、ｙ）＝０を満たす。
（２）逆にｆ（ｘ、ｙ）＝０を満たすｘ、ｙはすべて通過する点になりうる。
まず、（１）についてであるが、「どのようなｔであっても成り立つようなｘ、ｙの関係式」にはｔが入っていてはならない。（これはわかります）
例えば、(1)＋(2)によってｙ＝ｘ＋ｔ－１が得られるがこれは
ｔ＝０．ｔ＝１とｘ、ｙの関係式は変化する。
したがって、ｔの入っていないｘ、ｙの関係式でなければならないので、(1)(2)からｔを消去すると、ｙ＝２（ｘ－１）＝２ｘ－２
今度はｙ＝２ｘ－２を満たせば、そのような（ｘ、ｙ）は全てF上の点であるといえるのかというと、ｔは０≦ｔ≦１しか動かないので、ｘ＝ｔ＋１は１≦x≦２を動くから、ｙ＝２ｘ－２の１≦x≦２の部分。
（疑問）
ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)をｔはともに満たすから、ｔ＝ｘ－１(1)‘を(2)に代入出来るのはわかるのですが、これがどんなｔに対しても成り立つｘｙの関係というのがよくわかりません。
これに対し、
(1)×２（(1)‘‘）‐(2)で
２ｘ＝２ｔ＋２(1)‘‘であり、各辺引くと、
２ｘ－ｙ＝２＋０×ｔとなり、これが０≦ｔ≦１の任意のｔについて成り立つｘｙの関係というのはわかるのですが。

回答No.2

noname#215361 · ベストアンサー

ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)からｔを消去すると
ｙ＝２ｘ－２
ｔは０≦ｔ≦１を満たす実数であるから、ｘは０＋１≦ｘ≦１＋１を満たす実数となって１≦ｘ≦２

これでは納得出来ませんか。
「どのようなｔであっても成り立つようなｘ、ｙの関係式」という表現が適切ではないと思います。
「ｔの影響を受けないようなｘ、ｙの関係式を考えると」とし、そして１≦ｘ≦２の条件を加味するのです。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

Proof4

どんなtに対しても成り立つ式とは

はじめは、tがxやyによって定義されるのではなく、xやyがtによって定義されると考えます。
ここで、(1)や(2)でいうtは言うまでもなく同じ「数字」です。
いま、(1)'でtをxによって表しますが、同じ「数字」であることには変わりなく、tとxの値は対応します。

もちろんt=tなので、(2)のtに(1)'を代入できます。tとxの値は対応しているのでxからtを定義することも可能です。

つまり、(2)のtをxで「説明」しているというところでしょうか。

長文すみません。

お礼

ありがとうございました

補足

ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔについておなじｔだからｔ＝ｘ－１としてｙ＝２ｔに代入してもよい。
その代入した式は式は当然ｔ＝１でもｔ＝０でもｔ＝1／２でも成り立つので、０≦ｔ≦１の任意のｔについて成り立つｘｙの関係式が得られたという理解の仕方は正しいでしょうか?
（自分で考えたので、一番しっくりくるのですが)