軌跡の問題です

質問

x^2+y^2＝1をみたしながらx,yが動くとき、点P(x+y,xy)
の軌跡を求めよ。というどの問題集にものっている
問題で、解法はx+y=Ｕ xy=Ｖとおいたりしてx^2＋y^2=1
の式を対称式の変形でu^2-2v=1かつ実数条件から判別式でu^2-4v≧0の両方を満たす放物線とする解法が一般的でこれは理解できるのですが、このできるu,vの平面は元のx,y平面と同じなのでしょうか。
どうも問題集を解いていてひっかかるのですっきりさせたいです。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

おっしゃる通り、(x,y)から(u,v)へ変換
u=x+y, v=xy
で写像されるのですから、x,y平面とu,v平面は全然別の空間だと考えることができます。
　u,v平面の点のうちには、その点に対応するx,y平面の点がないものもある。u,v平面の中のどういう点なら、対応するx,yがあるかというと、
u^2-4v≧0
の範囲にある点です。なぜなら、この不等式は、u,v平面内の勝手な点（u,v)に対応する(x,y)がx,y平面に存在すための必要十分条件を表しているからです。

　さて、「x^2+y^2＝1をみたしながらx,yが動くとき」とはどういうことかというと、「動く」はコトバのアヤに過ぎなくて、要するに、
C={(x,y) | x^2+y^2＝1}
という集合を指している。これはx,y平面上の単位円です。
　で、点Pはu,v平面内の点(u,v)（ただし、これに対応する点がx,y平面内にあるもの。すなわちu^2-4v≧0を満たすもの。）である。

　こう整理すると、問題は
「x,y平面上で単位円を表している集合Cを u=x+y, v=xyでu,v平面に写像したときの像Pを求む」
ということです。
　だから答は集合
P = {(u,v) | u^2-2v=1 かつ u^2-4v≧0}
となり、これはu,v平面の部分集合である。（もちろん、「軌跡」とは点の集合のことに他なりません。）

　さてここからが本題なんですが、全く同じ問題を、u,v平面を全く持ち出さずにx,y平面だけで考えることもできるんです。
　すなわち軌跡Pはx,y平面上の点の集合で、
P ={ (u(x,y), v(x,y)) | (x,y)∈C}
　ここにu(x,y), v(x,y)はどちらもxとyの関数であって、
u(x,y) = x+y
v(x,y) = xy
である。と、このように考えることもできます。
　どうもヤヤコシイと思うのなら、x,yの文字をs,tと変えてみても良いでしょう。
P ={ (u(s,t), v(s,t)) | (s,t)∈C}
でも全く同じ意味ですからね。

　さて、別々の平面があると考えるか、一つの平面の上での話だと考えるか。どっちが正しいということはありません。どちらも解釈として成立するんです。それは丁度、
　1+2 = 3
が「リンゴ１個と2個、合わせて3個」と解釈しても、「1センチ+2センチ=3センチ」と解釈してもおかしくないのと同じ事です。同様に(x,y)や(u,v)を点だと思ったり、CやPを円や放物線だと思う、ということ自体も、ひとつの解釈に他なりません。（じゃあ別の解釈は？例えば(x,y)は「二つの実数のペア」であり、Cは「二つの実数のペアを要素とする集合のひとつ」だと思うこともできます。）

　せっかくこういうことに興味を持たれたのなら、たとえば
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=133062
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=36477

お礼

返信大変遅くなり申し訳ございません。
回答はすぐに確認させていただいたのですが、
その後パソコンが故障してしまい、修理するのに時間が
かかり、直っていたのですが返信をすっかり忘れていました。本当にごめんなさい。回答はなるほど、と思えるもので大変参考になりました。
私もどちらでもいいのではないのか？と考えていて、だからこそ余計に判断がつかなかった部分があったのですが、すっきりしました。
参考のページまで紹介してくれて非常にありがたかったです。ありがとうございました。

回答No.3

ht1914

ｕ、ｖと新しい変数を持ち込んで関数を求めたから新しい座標系だと考えてもいいわけですがもとのｘ、ｙの座標で一つずつ対応する、ｘ＋ｙとｘｙを求めて点を記入するということをしてもいいわけですからｘ、ｙ座標と同じと考えても構わないでしょう。

問題によっては同じと考えないといけない場合もあるのではないでしょうか。例えば「この軌跡と元の円との交点を求めよ」という問題だとするとです。

お礼

回答ありがとうございました。返信送れて申し訳ございません。やはり両方で一応考えて良いということですね。確かに下の例題のようだと同一平面と捉えないと
解答できませんね。大変参考になりました。
疑問点も解消されました。ありがとうございました。

回答No.2

whitedingo

x^2+y^2＝1をみたしながらx,yが動くとき、点P(x+y,xy)
の軌跡を求めよ
これを
x^2+y^2＝1をみたしながらx,yが動くとき、点P(U,V)
の軌跡を求めよ。ただしU、Vはそれぞれ
U＝x+y V=xy であらわされる。
と書き換えます。
ちょっとニュアンスが変わったように思いませんか？問題は同じなのに。
このように、自分が何について考えればいいのかはっきりさせると、疑問も解決することがありますよ。

お礼

返信非常に遅くなり、大変申し訳ございません。
理由はNo.1さんの所に書いたものです。
回答ありがとうございました。