軌跡の問題で

質問

軌跡を求める問題で
点P(x、y)が原点を中心とする
半径１の円周上を動くとき、
点R(x(x+y)/2、y(x+y)/2）は
どんな図形上を動くか

という問題で
私は
まず円の式はx^2＋y^2＝1で
R(u、v)とおいて
円の式とu＝x(x+y)/2、v＝y(x+y)/2から
2(u+v)＝x^2＋y^2+2xy
2xy＝2(u+v)-1・・・(1)
それとは別に
2x^2＝1+2(u-v)・・・(2)
2y^2＝1+2(v-u)・・・(3)
が分かり
(2)×(3)＝(1)^2から・・・・(4)
uとvの関係が分かり
Rの軌跡は円　2(x^2+y^2)-(x+y)＝0
と言うことがわかりました

しかし、答えを見ると

(1)(2)(3)(4)から逆に
このようなu、vについては　－1≦2(u+v)≦1
となるから、(1)(2)(3)を満たすx、yの実数値が
存在する。

の一文が追加されています、この意味とどのような
求め方でこの不等式が出てきたのわかりません
どなたかわかる方教えて頂けないでしょうか

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

ポイントは，「題意と同値になっているか？」ということです。

(2)，(3)から
　　2(u^2+v^2)-(u+v)=0　・・・(4)
を導いたわけですから，確かに(2)(3)⇒(4)は成り立ちます。
ところが，(2)(3)では ”x^2=”，”y^2=”の形で消去している
ために，(4)を満たす実数u，vがあるというだけでは，
(2)(3)を満たす実数x，yが存在するとはいえません。

つまり，その時点では点Rが円上にあるとわかっただけで，
点Rが円を描くのかどうかまでは論じられていないのです。

そこで，(4)と直線 v=u+k が共有点をもつ条件から
kの範囲を求め，
　　-1≦2(v-u)≦1　∴ 0≦1±2(u-v)≦2
が導かれてはじめて，(2)(3)における実数x，yの存在が
いえるわけです。
（-1≦2(u+v)≦1は入力ミスですね。
　実際，(1/2，1/2)では成り立ちません。）

x^2=，y^2= として消去すると同値性が見えなくなるので，
このような解き方はできるだけ避けるのがふつうです。
一般には，三角関数を用いて，次のように解くのが基本です。
x^2+y^2=1より
　　x = cosθ，y = sinθ
と表されます。２倍角の公式と合成により
　u = {cos^2(θ)+cosθ*sinθ}/2
　　= {1+cos 2θ +sin 2θ}/4　（/4に注意)
　　= {√2 cos(2θ-45°)+1}/4
　v =・・・= {√2 sin(2θ-45°)+1}/4

このように解けば，何のトラブルも起こりません。

お礼

お礼が遅くなりすいません
なかなか理解できずにいました
何とか理解できましたので
ありがとうございました
もうひとつの解き方を理解するには
まだ時間がかかりそうですが・・・

回答No.2

eatern27

bamobamo12さんが証明したのは、Rの軌跡は、円2(x^2+y^2)-(x+y)＝0上にある、というだけであって、

Rの軌跡は円2(x^2+y^2)-(x+y)＝0に一致する、という事は証明されていません。

つまり、円2(x^2+y^2)-(x+y)＝0上の点ではあるが、Rの軌跡上の点ではない点が存在するかもしれないのです。このような点がもし存在したら、2(x^2+y^2)-(x+y)＝0がRの軌跡とは呼べないのです。
なので、そのような点が存在するのなら、その点を全て除いた図形を軌跡としなければいけないし、存在しないのなら、「存在しない」という事を証明してやらないといけません。

この証明に相当するのが、ご質問の部分です。

ところで、
＞－1≦2(u+v)≦1
は間違いではないですか？
確かにこの不等式は成立してはいますが、－1≦2(u+v)＜0となるu,vが存在しませんよね？ 2(u+v)=(x+y)^2≧0ですので。

0≦2(u+v)≦1
-1≦2(u-v)≦1
のどちらか(もしくは両方)でしょうね。

この不等式の導出方法は、
「2(u^2+v^2)-(u+v)＝0」を描き、直線u±v=kがこの円と交わる時のkの範囲を求めればよいです。

また、
0≦2(u+v)≦1の方は、円x^2+y^2=1と直線x+y=iが交わる時のiの範囲を求め、ここから、2(u+v)=(x+y)^2=i^2の範囲を求めるという方法でも求まりますね。
-1≦2(u-v)≦1の方は、#1さんの方法の方が簡単ですね。(最後の結論は－1≦2(u-v)≦1の間違いでしょうが)

お礼

お礼が遅くなりすいません
なかなか理解できずにいました
何とか理解できましたので
ありがとうございました

回答No.1

nanakin

軌跡がらみの問題では範囲の制限を答えに付け加えることが
よくあります。むしろここがきっちりと考えているかを見極める
ポイントであったりもします。この質問のポイントは・・・・

2x^2＝1+2(u-v)・・・(2)
2y^2＝1+2(v-u)・・・(3)

の式がくせものです。
確かに答えの円はこの式と（１）をテキトーに
組み合わせることで導出されます。
問題はテキトーに導出されることなのです。
（２）と（３）を見てください。
左辺が平方にもかかわらず、、、
右辺は引き算なんかしてますよね！
（別に足し算でもいいんですけど）
平方の相手ですから、、ここは非常に

　　　　　　「符号」

が気になるところです。
ここで、uとvには
1+2(u-v)>=0
1+2(v-u)>=0
の条件が必要になります。
（これを満たしておかないといけません！！）
で、これを式変形すると
－1≦2(u+v)≦1
ってなわけです。

お礼

(2)と(3)が問題なんですね
やっと理解できました
ありがとうございます

補足

早速お返事ありがとうございます

ところで、すいません
不等式のところ
－1≦2(u-v)≦1
でした

追加で申し訳無いのですが
不等式の求め方は理解できたのですが
nanakinさんのおっしゃる通り
私は式をがむしゃらに作り出して
無理やり
（２）と（３）と(４)
を作り出したのですが
力技で無い方法や考え方があるのでしたら
是非教えていただきたいのですが