数学軌跡の問題で・・・・

質問

高校数学軌跡の問題です。

ある問題集にのっていた下記の問題の解答に不明点がありました。

問題
原点と異なるP（x、y）に対して点Q（x/x^2＋y＾２，y／x^2＋y＾２）を対応させる。
点Pが直線x＋2y＝１上を動くときの点Qの軌跡を求めよ

解答
Q(X,Y)とおくと、
X=x／x^2＋y＾２　　
Y=y／x^2＋y＾２よって
X^2＋Y^2＝１／x^2＋y＾２と書き直すことができ・・・(1)

x＝X／X^2＋Y^2
y＝Y／X^2＋Y^2
となる・・・(2)

そのあとx＋2y＝１に(2)を代入しているのですが、
(1)と(2)の過程がよくわかりません。
(1)というのはQから原点までの距離を
それぞれ（X,Y)と（x/x^2＋y＾２，y／x^2＋y＾２）を使ってあらわして、
＝してつなげているのかなと思ったのですが、その解釈であっていますか？

また、(1)の式からどう変形して(2)の式になるのかがわかりません。
どんな計算をして(2)になったのでしょうか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

これは、反転と言われる変換。
詳しく知りたいなら“反転変換”で検索すればよい。

α＝x/(x＾2＋y＾2)、y＝y/(x＾2＋y＾2)　‥‥(1)　と置くと、2乗して加えると、(α＾2＋β＾2)＝1/(x＾2＋y＾2)。
よって、(1)に移入すると、x＝α/(α＾2＋β＾2)、y＝β/(α＾2＋β＾2)。‥‥(2)
(2)を　x＋2y＝１に代入すると円になる。その方程式は、自分で計算して。
但し、x＾2＋y＾2　≠0　から　x＝y＝0を除くから、(α、β)＝(0、0)を除く。

ＯＸ・ＯＹ＝1　の形の反転について、次の事が知られている。
(1)　原点を通る直線は、直線に変換される。本問で、r＝0　の時。
(2)　原点を通らない直線は、円に返還される。本問で、r≠0　の時。
(3)　原点を通る円は、直線に変換される。
(4)　原点を通らない円は、円に変換される。

最近では、反転の問題も入試で頻出になってるようだから、これらを覚えておいて損はない。

お礼

パスワードを失念してしまい、お礼が送れてしまいました。
すみません。

回答ありがとうございます。
反転とやったら検索で色々でてきたのですが、難しいですね。
もう一度みなおしたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミス。該当箇所を以下に訂正。

ＯＸ・ＯＹ＝1　の形の反転について、次の事が知られている。
(1)　原点を通る直線は、直線に変換される。
(2)　原点を通らない直線は、円に変換される。
(3)　原点を通る円は、直線に変換される。
(4)　原点を通らない円は、円に変換される。

お礼

わざわざ訂正ありがとうございます。

回答No.1

Mr_Holland

＞それぞれ（X,Y)と（x/(x^2+y^2)，y/(x^2+y^2)）を使ってあらわして、
＞＝してつなげているのかなと思ったのですが、その解釈であっていますか？

　言おうとしている事は合っています。
　点Q（x/(x^2+y^2)，y/(x^2+y^2)）を点Q(X,Y)と置きました。各成分が等しいので(1)の式が得られます。

＞また、(1)の式からどう変形して(2)の式になるのかがわかりません。

　(1)の式は　1/(x^2+y^2)=X^2+Y^2 であることを示していますから、そのままX=・・・,Y=・・・の式に代入して、x=・・・、y=・・・と書き直せば(2)の式が得られます。

お礼

パスワードを失念してしまい、お礼が送れてしまいました。
すみません。

回答ありがとうございます。
この系統の問題は難しくて未だよくわからないのですが、
がんばってマスターしたいと思います。