軌跡の問題で

質問

L1:mx-y＋2m=0・・・(1)
L2:x＋my-2=0・・・(2)
mが全ての実数値をとるとき、L1とL2の交点Pの軌跡を求めよ。

という問題で、私は次のように考えました。
「適当な実数mを用いて(1)(2)と表せる」ということは
「mについての方程式(1)(2)が共通の実数解をもつ」と言い換えられる

(2)より、m=(2-x)/y・・・(3)
(1)(2)が共通の実数解をもつということは、(2)のただ１つの解(3)が(1)においても成り立つときである。
これを(1)に代入して整理すると、
x^2＋y^2=4
故にPの軌跡は、円x^2＋y^2=4の周上である。

しかし、答えは「x^2＋y^2=4の周上、しかし(-2,0)を例外とする」になっていました。この例外はどういう手順で求められるのでしょうか。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2の者です。
y≠0までは導出されていたのですね。

具体的に、xやyの値がわかっているときは元の式に戻るのがよいです。
実際、戻ってみると
(1)は、m(x+2)=0
(2)は、x-2=0
となります。

交点が存在するということは、この2式を同時に満たすxが存在するということです。
(1)からは、m=0 または x=-2が出てきます。
m=0のとき、(1)においては xはなんでもよいです。よって、(2)の答えである x=2は満たされます。
x=-2のときは、明らかに(2)の答えと矛盾します。つまり、交点が存在しないということです。

補足

なるほど。理解できました。
回答ありがとうございました。わかりやすかったです。

回答No.4

fukuda-h

(2)からmy=2-xとした時に０で割れないので
y≠０のときm=(2-x)/y・・・(3)ですね。y=0のときは
L2:x-2=0・・・(2)
(2)からx=2からy=0のとき（ｘ、ｙ）＝(2,0)
x^2＋y^2=4においてy=0のとき(x,y)=(±2,0)から（-2,0）を除く。

または、直線群の考えを用いて
L1:mx-y＋2m=0・・・(1)からm(x-2)-y=0から直線x-2=0を表さない
L2:x＋my-2=0・・・(2)からx-2+my=0から直線y=0を表さない
したがって、(x,y)=(2,0)を除く。

(1)と（２）は垂直ですから直径に対する円周角の軌跡ですね

回答No.2

naniwacchi

「例外」は書かれている解答の中にあります。

(3)式を導出するとき、何か条件がいりませんか？
割り算に関する条件です。

(3)式を考えるときに一度除外することになるので、
最後に除外した条件のときに交点が存在するかどうかを確認します。
場合分けとして書いてもいいかもしれません。

お礼

>(3)式を導出するとき、何か条件がいりませんか？
y≠0です。

>最後に除外した条件のときに交点が存在するかどうかを確認します。
最後に確認・・・とはどういうことでしょうか。

回答No.1

himajin100000

>(2)より、m=(2-x)/y・・・(3)

これは「yが0でないとき」という条件がつくはず。

お礼

回答ありがとうございます。
言い忘れていました・・・(3)より、y≠0は私も求めました。
しかし、y≠0だと、(2,0)も含まないことになりますが、答えは「(-2,0)を唯一の例外とする」であるから答えは「(2,0)は含んでいる」ですよね？？

何故(ー2,0)だけが例外なんでしょうか。。