軌跡と存在するための条件について

質問

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題）2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え）点（X,Y）が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数ｍが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1)　かつ　X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^2+(Y-9)^2=15^2----(3)（ただし、X≠-4より(-4,-3),(-4,21)は除く)

その２）X+4=0のとき(1)を満たす実数ｍが存在するための条件は、(X,Y=(-4,21)

以上により、求める軌跡は、円(x-5)^2+(y-9)^2=15^2、ただし、点(-4,-3)は除く

疑問点）(1)かつ(2)の条件を求めるときに、「mが存在するためのX,Yの条件を求めるのに、mを消去して得られる」との事なのですが、いまいちこの技術が見えません・・・どうしてｍを消去することにより、ｍが存在するためのX,Yの条件が求まるのでしょうか。

良く、参考書には「文字定数を消去することにより出来た方程式で、その軌跡を得ることになる」とありその通りに使っていたのですがどういう事が起きているのか良く分からないのです・・・

高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

専門ではありませんが，回答が出ないようなので。

与えられた2式は，ｍの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから，ｍを消去する
ことでｍの値にかかわらない（X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは，ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば，
　x=r cosθ
　y=r sinθ
において媒介変数θを消去して，x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方，ｍを消去する過程でx+4≠0（またはy+3≠0）を前提しなければ
ならないので，じゃあx=-4（またはy=-3）のときはどうなるのか？
を検討しなければならないというわけです。すると円周上の点(-4,-3)
はいかなるｍをとっても(1)かつ(2)を満たさず，どんな場合の交点
にもなりえないことがわかるのです。

高校数学のレベルだからこそ，納得をすることが大切でマニュアルに
流れてしまうと本物の力になりません。がんばってください。

お礼

なるほどー・・・
媒介変数も、似たような作業を行っていたのですね。
x=rsinθ y=rcosθと、x^2+y^2=の関係のような、当たり前の様にみていた関係も、実は軌跡につながっていたのですね。

ありがとうございました！

回答No.2

koko_u_

>高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか？
理解するに越したことはありません。「その通り覚えて使う」と大抵まちがえます。

理解の方法も参考書の思考方法に沿って理解する必要はありません。自分なりに考えて納得するようにしましょう。

この問題に関して一般論だけ書きます。具体的な問題はそこにあるので自分で計算して下さい。

(X, Y) の軌跡を求めるわけですが、まず m が決まれば交点(X, Y) が決まります。つまり X, Y は m の「関数」です。

X, Y を m で具体的に表現してみるとよいでしょう。
この時、m の値によっては X, Y が「求まらない」とか「複数の可能性がある」などもあり得ます。

軌跡を求めるには m の関数たる X, Y から「m を消去」することで、m の値によらずに 「X, Y が満たす関係」が得られます。

次に注意する点は、そもそも X, Y は m から得られているので、先に得られた「X, Y の関係を満たす値」すべてが m から得られるとは限らない。ということです。

当然、うまく「m を消去」しなければなりませんが、高校のレベルであればさほど式変形で悩むようなフォーマットのものは出題されないと思います。

お礼

どうもありがとうございます。

＞ X, Y は m の「関数」で、 X, Y から「m を消去」することで、m の値によらずに 「X, Y が満たす関係」

から本質が見えてきたような気がします！
基本的な考え方は、「直線から、変数によらない常に通る定点を求める手法」となんら変わらないのですね。

koko_u様、いつも分かりやすい回答をありがとうございます。
本当に助かります！